多项式的链表表示及运算

多项式可以用链表来表示，每个节点表示多项式的一项，包含三个属性：系数、指数、指向下一个节点的指针。链表的头节点表示多项式的开头。

多项式的加法可以通过遍历两个多项式的链表，将指数相同的项的系数相加，新建一个节点保存结果，最后将剩余项直接拼接到结果链表的尾部。

多项式的乘法也可以通过遍历两个多项式的链表，将每一项相乘，得到新的一项，将所有新的一项相加即为结果。具体来说，我们可以对第一个多项式的每一项，在第二个多项式上遍历，将指数相加得到新的指数，将系数相乘得到新的系数，将新的一项插入到结果链表中。

需要注意的是，对于乘法，要在插入新项之前检查结果链表中是否已经有相同指数的项，如果有，则将系数相加，否则直接插入新项。

以下是一个简单的多项式链表的定义和加法、乘法操作的实现代码（C++）：

struct PolyNode {
    int coef; // 系数
    int exp; // 指数
    PolyNode* next; // 下一项节点指针
};

PolyNode* addPoly(PolyNode* p1, PolyNode* p2) {
    PolyNode* head = new PolyNode(); // 结果链表头节点
    PolyNode* tail = head; // 结果链表尾指针
    while (p1 && p2) {
        if (p1->exp == p2->exp) { // 指数相同，系数相加
            int coef = p1->coef + p2->coef;
            if (coef != 0) { // 系数不为0才添加新项
                PolyNode* node = new PolyNode();
                node->coef = coef;
                node->exp = p1->exp;
                tail->next = node;
                tail = node;
            }
            p1 = p1->next;
            p2 = p2->next;
        } else if (p1->exp > p2->exp) { // p1的指数大，将p1的项添加到结果中
            PolyNode* node = new PolyNode();
            node->coef = p1->coef;
            node->exp = p1->exp;
            tail->next = node;
            tail = node;
            p1 = p1->next;
        } else { // p2的指数大，将p2的项添加到结果中
            PolyNode* node = new PolyNode();
            node->coef = p2->coef;
            node->exp = p2->exp;
            tail->next = node;
            tail = node;
            p2 = p2->next;
        }
    }
    // 将剩余的项添加到结果中
    while (p1) {
        PolyNode* node = new PolyNode();
        node->coef = p1->coef;
        node->exp = p1->exp;
        tail->next = node;
        tail = node;
        p1 = p1->next;
    }
    while (p2) {
        PolyNode* node = new PolyNode();
        node->coef = p2->coef;
        node->exp = p2->exp;
        tail->next = node;
        tail = node;
        p2 = p2->next;
    }
    // 删除头节点
    PolyNode* temp = head;
    head = head->next;
    delete temp;
    return head;
}

PolyNode* multiplyPoly(PolyNode* p1, PolyNode* p2) {
    PolyNode* head = new PolyNode(); // 结果链表头节点
    PolyNode* tail = head; // 结果链表尾指针
    while (p1) {
        PolyNode* p = p2;
        while (p) {
            int coef = p1->coef * p->coef;
            int exp = p1->exp + p->exp;
            // 在结果链表中查找是否有指数相同的项
            PolyNode* node = head;
            while (node && node->exp != exp) {
                node = node->next;
            }
            if (node) { // 已有相同指数的项，将系数相加
                node->coef += coef;
                if (node->coef == 0) { // 系数为0，删除该项
                    PolyNode* temp = node;
                    node = node->next;
                    delete temp;
                }
            } else { // 没有相同指数的项，直接添加新项到结果链表
                node = new PolyNode();
                node->coef = coef;
                node->exp = exp;
                tail->next = node;
                tail = node;
            }
            p = p->next;
        }
        p1 = p1->next;
    }
    // 删除头节点
    PolyNode* temp = head;
    head = head->next;
    delete temp;
    return head;
}