满足a[I] > a[j]， i < j称之为逆序对，给定一个整数N代表序列长度，第二行包含N个整数，代表序列中的元素，求出序列中逆序对的个数 例如：输入4 2 4 1 7 结果是2

解题思路：

一般求逆序对的方法有两种，一种是归并排序，一种是树状数组。这里介绍归并排序的方法。

归并排序的基本思想是分治，在归并排序的过程中，每次将序列二分，分别对左右两半进行排序，然后将左右两半合并成有序序列。在合并的过程中，统计逆序对的个数。

具体实现：

在合并两个有序序列时，假设左序列为A，右序列为B，分别从头开始遍历两个序列，对于A[i] > B[j] 的情况，表示存在逆序对，此时统计逆序对的个数为 mid - i + 1，其中 mid 为序列中间位置，i 为左序列当前位置。

C++代码：

相关问题

给定N个数的序列a1,a2,...aN，定义一个数对(ai, aj)为“重要逆序对”的充要条件为 i < j 且 ai > 2aj。求给定序列中“重要逆序对”的个数。

题目描述

给定N个数的序列a1,a2,…,aN，定义一个数对(ai,aj)为“重要逆序对”的充要条件为i<j且ai>2aj。求给定序列中“重要逆序对”的个数。

输入格式
第一行一个整数N(1≤N≤105)，表示序列中数的个数。

第二行N个整数a1,a2,…,aN(1≤ai≤109)。

输出格式
输出一个整数，表示给定序列中“重要逆序对”的个数。

样例

输入样例：
5
1 3 2 4 5
输出样例：
2

算法1

(归并排序) $O(nlogn)$

我们借鉴归并排序中的分治思路，假设当前要排序的区间为[l,r]，可以将其拆分成两个区间：[l,mid]和[mid+1,r]，排序后合并。

我们可以在合并时统计重要逆序对的数量。此时我们已经分别求出了[l,mid]和[mid+1,r]中的重要逆序对数量，因此[l,mid]和[mid+1,r]中分别分别排序后的数组已经是有序的。

接下来，在合并[l,mid]和[mid+1,r]的过程中，假设当前[l,mid]中的剩余元素为[i,j]，[mid+1,r]中的剩余元素为[k,l']，其中[mid+1,r]中的前k-1个元素已经入到合并后的数组中，剩下的为[k,l']。

当我们将[l,mid]中的某个元素ai加入合并后的数组时，记下另一个区间中所有大于2ai的元素数量cnt，那么[cnt,mid+1]中的元素均为重要逆序对。

因为[mid+1,r]中的元素已经是有序的，因此在其后续的数中也不可能再有重复的重要逆序对。此时我们移动到下一个[l,mid]中的元素，同样记下另一个区间中所有大于2ai的元素数量cnt。

我们依此类推，最后统计出[l,mid]中的所有元素与[mid+1,r]中的重要逆序对数量之和即为答案。

时间复杂度

排序的时间复杂度是O(nlogn)，在合并时统计重要逆序对的数量的时间复杂度是O(n)，因此总时间复杂度是O(nlogn)。

C++ 代码

算法2

(线段树) $O(nlogn)$

线段树中每个节点表示[l,r]区间中每个元素的重要逆序对数量。

考虑每个节点如何合并成父节点的值。

假设一个节点表示的区间为[l,r]，左右子节点分别表示的区间为[l,mid]和[mid+1,r]，则当前节点表示的重要逆序对有三个来源：

子节点中来自[l,mid]的重要逆序对数量。

子节点中来自[mid+1,r]的重要逆序对数量。

跨越[l,mid]和[mid+1,r]的重要逆序对数量。该数量可以通过枚举[l,mid]中的每个元素ai，统计[mid+1,r]中所有大于2ai的元素数量cnt，那么在该区间中对该元素的贡献就是cnt。

为了方便合并，对于每个节点中的信息，我们需要维护三个信息：

划分区间[l,r]。

[l,r]中的元素按照从小到大的顺序排序后得到的数组。

[l,r]中重要逆序对数量。

这里我们仅讨论如何维护第一个和第三个信息，第二个信息可以在插入过程中维护。

由于线段树每个节点表示的区间长度为1，因此我们可以直接用一个整数数组来存储每个节点的信息。对于节点l，其左右子节点分别为2l和2l+1，父节点为l/2。

时间复杂度

每次查询树中的最大值需要O(logn)的时间，共需要查询n次，因此总时间复杂度是O(nlogn)。

C++ 代码

最近，Tom 和 Jerry 在上数据分析课。今天的课程内容是一个人类称之为“逆序对”的东西。 逆序对的定义如下：对于给定的一段正整数序列{a_i}，逆序对就是序列中满足 a_i> a_j且 i < j 的有序对。学习了这个概念后，他们决定比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。可怜的 Tom 还在研究如何更快的暴力求解，你能帮 Jerry 想出一个更快的方法吗？ 注：序列中可能有重复数字。 输入输出格式 输入： 第一行输入为一个整数 N（1 <= N <= 100,000），表示正整数序列共有 N 个正整数； 第二行输入为由N个正整数构成的序列{a_i}。满足对任意的a_i有1 ≤ a_i ≤ 1,000,000,000。

这道题目可以使用归并排序的思想来求解逆序对的数量。具体来说，在归并排序的过程中，将原序列分成左右两个子序列，分别计算左右子序列内部的逆序对数量，再计算左右两个子序列之间的逆序对数量，最后将左右两个有序子序列合并成一个有序序列。在计算左右子序列内部的逆序对数量时，可以使用分治的思想递归求解。具体实现可以参考下面的 Python 代码：

def merge_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr, 0
    mid = len(arr) // 2
    left, inv_left = merge_sort(arr[:mid])
    right, inv_right = merge_sort(arr[mid:])
    merged, inv_merge = merge(left, right)
    return merged, inv_left + inv_right + inv_merge

def merge(left, right):
    i, j = 0, 0
    merged = []
    inv = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            merged.append(left[i])
            i += 1
        else:
            merged.append(right[j])
            j += 1
            inv += len(left) - i
    merged.extend(left[i:])
    merged.extend(right[j:])
    return merged, inv

n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
_, ans = merge_sort(a)
print(ans)

其中 `merge_sort` 函数用于归并排序，返回排序后的序列以及逆序对数量。`merge` 函数用于合并两个有序的子序列，返回合并后的有序序列以及两个子序列之间的逆序对数量。在合并两个子序列时，如果左子序列的当前元素小于等于右子序列的当前元素，则直接将左子序列的当前元素加入到合并后的序列中；否则，将右子序列的当前元素加入到合并后的序列中，并且右子序列的当前元素和左子序列的剩余元素都构成逆序对，因此需要计算逆序对的数量。最后，将左右两个有序子序列合并成一个有序序列时，还需要将剩余的元素依次加入到合并后的序列中。