计算∮_(|z|=1)▒〖(e^z z ̅^2)/〖(z ̅+2)〗^2 dz〗

首先，我们可以将积分路径转化为 $|z|=1$ 上的逆时针方向，这样可以使用 Cauchy 积分定理计算积分。注意到 $f(z)=\frac{e^z z^2}{(z+2)^2}$ 在积分路径内是解析的，因此有：

$$\oint_{|z|=1} \frac{e^z z^2}{(z+2)^2} dz = 2\pi i \text{Res}(f,-2)$$

现在我们需要计算 $f$ 在 $z=-2$ 处的留数。我们可以使用洛朗级数展开式：

$$f(z) = \frac{e^z z^2}{(z+2)^2} = \frac{1}{(z+2)^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n+2}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n}}{n!} \cdot \frac{1}{(z+2)^2}$$

因此，$f$ 在 $z=-2$ 处的留数为：

$$\text{Res}(f,-2) = \lim_{z \to -2} \frac{d}{dz} \left[(z+2)^2 f(z)\right] = -\frac{1}{4}e^{-2}$$

最终，我们得到：

$$\oint_{|z|=1} \frac{e^z z^2}{(z+2)^2} dz = 2\pi i \cdot \left(-\frac{1}{4}e^{-2}\right) = -\frac{\pi i}{2} e^{-2}$$

因此，$\displaystyle{\oint_{|z|=1} \frac{e^z z^2}{(z+2)^2} dz = -\frac{\pi i}{2} e^{-2}}$。