随机微分方程EM方法、Milstein方法、半隐式EM方法的稳定域及其MATLAB实现
时间: 2023-11-29 16:07:15 浏览: 73
随机微分方程(Stochastic Differential Equation,简称SDE)是一类在自然科学和金融领域中广泛应用的数学模型,其解不是一个确定的函数,而是一个随机过程。SDE的求解方法有很多种,其中比较常用的是EM方法、Milstein方法和半隐式EM方法。
1. EM方法
EM方法是一种基于欧拉方法和隐式方法的近似求解SDE的方法。它的稳定域为$$\Delta t\leq\frac{1}{2\lambda}$$其中$\lambda$为SDE中的扰动项的Lipschitz常数。在MATLAB中,可以使用ode15s函数来实现EM方法求解SDE,具体实现方式可以参考以下代码:
```matlab
function [T, X] = EM_SDE(f, g, tspan, x0, N)
% f: SDE中的漂移项
% g: SDE中的扰动项
% tspan: 时间区间
% x0: 初始值
% N: 网格数
dt = diff(tspan)/N;
T = linspace(tspan(1), tspan(2), N+1);
X = zeros(size(T));
X(1) = x0;
for n = 1:N
dW = sqrt(dt)*randn;
X(n+1) = X(n) + f(X(n))*dt + g(X(n))*dW;
end
```
2. Milstein方法
Milstein方法是一种基于欧拉方法和二阶展开的近似求解SDE的方法。它的稳定域为$$\Delta t\leq\frac{1}{\lambda}\sqrt{\frac{2}{3}\frac{\sigma^2}{|\partial_xg|}}$$其中$\sigma^2$为扰动项的方差,$|\partial_xg|$为扰动项的导数的绝对值的上界。在MATLAB中,可以使用sde_euler函数来实现Milstein方法求解SDE,具体实现方式可以参考以下代码:
```matlab
function [T, X] = Milstein_SDE(f, g, tspan, x0, N)
% f: SDE中的漂移项
% g: SDE中的扰动项
% tspan: 时间区间
% x0: 初始值
% N: 网格数
dt = diff(tspan)/N;
T = linspace(tspan(1), tspan(2), N+1);
X = zeros(size(T));
X(1) = x0;
for n = 1:N
dW = sqrt(dt)*randn;
dW2 = dW^2 - dt;
X(n+1) = X(n) + f(X(n))*dt + g(X(n))*dW + 0.5*g(X(n))*(g(X(n+1))-g(X(n)))*(dW2-dt);
end
```
3. 半隐式EM方法
半隐式EM方法是一种基于半隐式方法和欧拉方法的近似求解SDE的方法。它的稳定域为$$\Delta t\leq\frac{1}{\lambda}\sqrt{\frac{2}{3}\frac{\sigma^2}{|\partial_xg|}}$$其中$\sigma^2$为扰动项的方差,$|\partial_xg|$为扰动项的导数的绝对值的上界。在MATLAB中,可以使用sde_euler函数来实现半隐式EM方法求解SDE,具体实现方式可以参考以下代码:
```matlab
function [T, X] = SemiImplicitEM_SDE(f, g, tspan, x0, N)
% f: SDE中的漂移项
% g: SDE中的扰动项
% tspan: 时间区间
% x0: 初始值
% N: 网格数
dt = diff(tspan)/N;
T = linspace(tspan(1), tspan(2), N+1);
X = zeros(size(T));
X(1) = x0;
for n = 1:N
dW = sqrt(dt)*randn;
dW2 = dW^2 - dt;
X(n+1) = X(n) + f(X(n))*dt + 0.5*g(X(n))*(dW2-dt) + g(X(n+1))*dW;
end
```
以上三种方法都是常用的求解SDE的方法,具体选择哪一种方法取决于SDE中的漂移项和扰动项的性质。