角谷定理python递归

角谷定理是一个经典的数学问题，它的递归实现可以用 Python 编写。

首先，让我们回顾一下角谷定理的规则：

1. 给定任意正整数 n，如果它是偶数，则将其除以 2。
2. 如果它是奇数，则将其乘以 3 再加 1。
3. 不断重复以上步骤，直到 n 最终变为 1。

现在，我们可以使用递归函数来实现这个算法。以下是一个角谷定理的递归实现的 Python 代码：

def jiaogu(n):
    if n == 1:    # base case
        return 0
    elif n % 2 == 0:
        return 1 + jiaogu(n // 2)
    else:
        return 1 + jiaogu(n * 3 + 1)

# 测试
print(jiaogu(7))    # 输出结果为 16

在这个实现中，我们使用了两个基本的递归条件：

1. 基本情况：当 n 等于 1 时，返回 0。
2. 递归情况：当 n 是偶数时，递归调用 jiaogu(n//2)；当 n 是奇数时，递归调用 jiaogu(n*3+1)。

每次递归调用都会将计数器加 1，直到最终 n 变为 1。最后，我们输出计数器的值，即得到了角谷定理的结果。

请注意，由于角谷定理可以在极长的时间内持续计算，因此递归实现可能会导致栈溢出。为了避免这种情况，可以使用迭代方法来实现。

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在 Python 中，可以使用递归或循环来实现斐波那契数列。

递归实现：

def fibonacci(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

循环实现：

def fibonacci(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    else:
        a, b = 1, 1
        for i in range(3, n+1):
            c = a + b
            a, b = b, c
        return c

递归法实现扩展的欧几里得定理

扩展的欧几里得定理是一种算法，它不仅可以计算两个整数a和b的最大公约数（GCD），还可以找到整数x和y，使得ax + by = gcd(a, b)。这个等式被称为贝祖等式（Bézout's identity）。递归法实现扩展的欧几里得定理通常使用辗转相除法的递归版本，并在每一步中记录下能够得到GCD的系数x和y。

以下是递归法实现扩展的欧几里得定理的基本步骤：

1. 如果b等于0，则最大公约数是a，并且a和b的一个可能的解是x=1, y=0。
2. 否则，先计算gcd(b, a mod b)，然后找到对应的系数x'和y'。
3. 根据等式ax' + by' = gcd(a, b)，我们可以得出x和y的值：
x = y'
y = x' - floor(a/b) * y'

这个过程是递归进行的，直到其中一个数变为0为止。在每一步递归中，我们都会得到一组新的系数x'和y'，它们满足a'x' + b'y' = gcd(a', b')，其中a'是上一步的b，b'是上一步的a mod b。当b'变为0时，递归结束，此时的a'就是我们要找的最大公约数，而此时的x'和y'就是贝祖等式中对应的系数。

递归实现扩展欧几里得算法的Python代码示例：

def extended_gcd(a, b):
    if a == 0:
        return (b, 0, 1)
    else:
        gcd, x, y = extended_gcd(b % a, a)
        return (gcd, y - (b // a) * x, x)

# 使用扩展欧几里得算法求解x和y
a = 30
b = 20
gcd, x, y = extended_gcd(a, b)
print(f"The GCD of {a} and {b} is {gcd}, and the coefficients are x={x}, y={y}")