平面上半径为a圆心在坐标原点的带电圆盘,面密度为 ,求z轴上 点(0,0,a)的电位。
时间: 2024-04-02 18:37:18 浏览: 17
根据电荷连续性,可以将圆盘看作由许多面积为 $dS$ 的小圆盘组成,每个小圆盘的面积为 $dS=\pi r^2=\pi (a\sin\theta)^2=\pi a^2\sin^2\theta$,电荷量为 $dq=\sigma dS=\sigma \pi a^2\sin^2\theta d\theta$,其中 $\sigma$ 是圆盘的面电荷密度。
假设点 $(0,0,a)$ 的电势为 $V$,则该点的电场强度为 $E=-\nabla V|_{(0,0,a)}$。因为该点位于 $z=a$ 平面上方,所以只需要考虑圆盘上半部分对该点的贡献。
根据库伦定律,小圆盘对该点的电势贡献为:
$dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma \pi a^2\sin^2\theta d\theta}{\sqrt{a^2+\rho^2-2a\rho\sin\theta}}$
其中,$\rho$ 是小圆盘到点 $(0,0,a)$ 的距离。根据直角三角形的勾股定理,有:
$\rho=\sqrt{a^2+(a\sin\theta)^2+(a\cos\theta-a)^2}=\sqrt{2a(a-a\cos\theta)}=a\sqrt{2}\sin(\frac{\theta}{2})$
将 $dV$ 积分得到总的电势:
$V=\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma \pi a^2\sin^2\theta d\theta}{a\sqrt{2}\sin(\frac{\theta}{2})}=\frac{1}{2\epsilon_0}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sigma a\sin\theta d\theta}{\sin(\frac{\theta}{2})}$
因为 $\sin\theta=2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$,所以可以进行变量代换 $u=\cos(\frac{\theta}{2})$,则有:
$V=\frac{\sigma a}{\epsilon_0}\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{\sigma a}{\epsilon_0}ln(\sqrt{2}+1)$
因此,点 $(0,0,a)$ 的电势为 $\frac{\sigma a}{\epsilon_0}ln(\sqrt{2}+1)$。