计算机数值分析 复化梯形的递推

复化梯形公式是一种常用的数值积分方法，其递推公式如下：

$$
\begin{aligned}
T_0 &= \frac{h}{2}[f(a)+f(b)] \\
T_n &= \frac{T_{n-1}}{2} + h\sum_{i=1}^{2^{n-1}}f(a+(2i-1)h) \quad (n\ge1)
\end{aligned}
$$

其中，$T_n$ 表示用复化梯形公式计算 $n$ 段区间的积分近似值，$h=\frac{b-a}{2^n}$ 表示每一段区间的长度，$f(x)$ 是被积函数在 $x$ 处的函数值。

递推的思想是从 $T_0$ 开始，每次将上一次的计算结果 $T_{n-1}$ 除以 $2$，再加上新计算的 $2^{n-1}$ 个区间的积分近似值。这样就可以一步步逼近所求的积分值。

相关问题

复化梯形递推公式Python

复化梯形公式是一种数值积分方法，可以用于计算函数在一个区间上的定积分。其递推公式如下：

$I_n = \frac{h}{2}(f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(b))$

其中，$n$ 为分割区间数，$h = \frac{b-a}{n}$ 为每个子区间的长度，$x_i = a + ih$ 为每个子区间的右端点。

下面是Python代码实现：

def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = 0.5 * (f(a) + f(b))
    for i in range(1, n):
        s += f(a + i * h)
    return h * s

其中，`f` 是被积函数，`a` 和 `b` 是积分区间的左右端点，`n` 是分割的子区间数。返回值为数值积分结果。

python 复化梯形递推算式

复化梯形公式是一种数值积分方法，可以用于求解定积分。其递推公式如下：

$$
I_n = \frac{h}{2} [f(a) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(b)]
$$

其中，$n$ 表示等分的区间数，$h$ 表示每个小区间的长度，$a$ 和 $b$ 分别表示积分区间的下限和上限，$x_i = a + ih$。

该公式的递推方式为：首先计算 $I_1$，然后利用 $I_k$ 计算 $I_{k+1}$，直到达到所需精度或达到最大迭代次数为止。

下面是 Python 中复化梯形公式的递推算法实现：

def composite_trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = [a + i * h for i in range(n + 1)]
    s = sum([f(x[i]) for i in range(1, n)])
    return (h / 2) * (f(a) + f(b) + 2 * s)

其中，$f$ 表示被积函数，$a$ 和 $b$ 分别表示积分区间的下限和上限，$n$ 表示等分的区间数。函数返回定积分的近似值。