分别用复化梯形公式、复化Simpson公式和Romberg公式计算给定函数的数值积分
时间: 2023-11-11 07:08:07 浏览: 45
给定函数:$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$,积分区间为$[0,1]$。
1. 复化梯形公式:
根据复化梯形公式,数值积分的近似值为:
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{h}{2} \left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]\\
&= \frac{1}{2} \left[f(0)+2\sum_{i=1}^{4}f\left(\frac{i}{4}\right)+f(1)\right]\\
&\approx 0.7853975
\end{aligned}
$$
其中,$h=\frac{1-0}{n}=0.25$,$x_i=0+ih$。
2. 复化Simpson公式:
根据复化Simpson公式,数值积分的近似值为:
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{h}{3} \left[f(x_0)+4\sum_{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i})+2\sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})+f(x_n)\right]\\
&= \frac{1}{6} \left[f(0)+4\sum_{i=1}^{2}f\left(\frac{i}{4}\right)+2\sum_{i=1}^{3}f\left(\frac{2i-1}{6}\right)+f(1)\right]\\
&\approx 0.7853982
\end{aligned}
$$
其中,$h=\frac{1-0}{n}=0.25$,$x_i=0+ih$。
3. Romberg公式:
根据Romberg公式,可以通过构造一个二维递推表来计算数值积分的近似值。
首先,使用复化梯形公式计算$I_{1,1}$:
$$I_{1,1} = \frac{h}{2} \left[f(x_0)+f(x_n)\right] \approx 0.7853982$$
然后,对$I_{1,1}$应用复化梯形公式和复化Simpson公式,得到$I_{2,1}$和$I_{2,2}$:
$$
\begin{aligned}
I_{2,1} &= \frac{1}{2}I_{1,1} + h \sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1}) \approx 0.7823668\\
I_{2,2} &= \frac{4I_{2,1}-I_{1,1}}{3} \approx 0.7851134
\end{aligned}
$$
接着,对$I_{2,1}$和$I_{2,2}$应用复化梯形公式和复化Simpson公式,得到$I_{3,1}$、$I_{3,2}$和$I_{3,3}$:
$$
\begin{aligned}
I_{3,1} &= \frac{1}{2}I_{2,1} + \frac{h}{2} \sum_{i=1}^{n/4}f(x_{4i-2}) + \frac{h}{2} \sum_{i=1}^{n/4}f(x_{4i}) \approx 0.7853581\\
I_{3,2} &= \frac{4I_{3,1}-I_{2,1}}{3} \approx 0.7853974\\
I_{3,3} &= \frac{16I_{3,2}-I_{2,2}}{15} \approx 0.7853982
\end{aligned}
$$
最终,可以得到数值积分的近似值$I\approx I_{3,3}=0.7853982$。