利⽤⼆维复化梯形公式与⼆维复化 Simpson 公式计算函数的⼆重积分

二维复化梯形公式与二维复化Simpson公式都是数值积分方法，用于近似计算二重积分的值。它们的基本思想都是将积分区域分成若干个小子区域，然后在每个小子区域内使用一维复化梯形公式或复化Simpson公式来近似计算被积函数的积分值，最后将所有小子区域的积分值加起来得到整个积分的近似值。

二维复化梯形公式的公式为：

$$
I \approx \frac{h_1h_2}{4}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(x_i,y_j)
$$

其中，$h_1$和$h_2$分别为$x$和$y$方向上的步长，$n$和$m$分别为$x$和$y$方向上的小子区域数，$x_i$和$y_j$分别为$x$和$y$方向上的小子区域的中心点坐标，$f(x_i,y_j)$为被积函数在点$(x_i,y_j)$处的函数值。

二维复化Simpson公式的公式为：

$$
I \approx \frac{h_1h_2}{9}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(x_i,y_j)S_{ij}
$$

其中，$S_{ij}$为在小子区域$(x_{i-1},x_i)\times(y_{j-1},y_j)$上使用复化Simpson公式计算积分的结果。

在MATLAB中，可以使用dblquad函数来实现二重积分的计算，例如计算函数$f(x,y) = x^2+y^2$在区域$[0,1]\times[0,1]$上的积分：

f = @(x,y) x.^2 + y.^2;
a = 0; b = 1;
n = 100; m = 100;
h1 = (b-a)/n; h2 = (b-a)/m;
x = linspace(a+h1/2,b-h1/2,n);
y = linspace(a+h2/2,b-h2/2,m);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
I_trap = h1*h2/4*sum(sum(f(X,Y)));
I_simp = h1*h2/9*sum(sum(f(X,Y).*s));

其中，meshgrid函数用于生成二维网格点坐标，s为一个与网格大小相同的矩阵，每个元素为小子区域上使用复化Simpson公式计算积分的结果。