P1043 [NOIP2003 普及组] 数字游戏

题目描述

有一个长度为n(n<=100)的数字串，求出其中所有的连续子串中，各个数位数字之和的最大值是多少。

输入格式

第一行是一个整数n(n<=100)。

第二行是n个数字字符。

输出格式

一个整数，表示各个数位数字之和的最大值。

样例输入

6
123123

样例输出

9

提示

此题也可用O(n)的时间复杂度求解。

算法1

(暴力枚举) $O(n^3)$

枚举出所有的连续子串，再计算它们的各位数字之和。

时间复杂度

枚举子串需要 $O(n^2)$ 的时间，每次计算各位数字之和，需要 $O(n)$ 的时间，所以总时间复杂度为 $O(n^3)$。

空间复杂度

不需要额外的空间，所以空间复杂度为 $O(1)$。

算法2

(动态规划) $O(n)$

设置一个数组 $f[i]$ 表示以第 $i$ 个位置结尾的子串中各位数字之和的最大值，那么 $f[i]$ 的值可以从两个位置转移而来：

- $f[i] = max(f[i], f[i-1] + num[i])$，即当前位置的值加上前一个位置的最大值；
- $f[i] = max(f[i], num[i])$，即当前位置的值比前一个位置的最大值更大。

转移方程为：$f[i] = max(f[i], f[i-1]+num[i], num[i])$。

时间复杂度

只需要遍历一次数组，所以时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度

需要一个 $f$ 数组来记录各个位置的最大值，所以空间复杂度为 $O(n)$。

C++ 代码

算法1

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输入格式

一个正整数n和一个数字m。

输出格式

一个整数，表示满足条件的数的个数。

输入样例

12 1

输出样例

5

算法1

(暴力枚举) $O(nlogn)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

python3 代码

算法2

(暴力枚举) $O(nlogn)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

C++ 代码

算法3

(暴力枚举) $O(nlogn)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

Java 代码

算法4

(暴力枚举) $O(nlogn)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

C# 代码

算法5

(暴力枚举) $O(nlogn)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

Go 代码

算法6

(暴力枚举) $O(nlogn)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

Scala 代码

算法7

(暴力枚举) $O(nlogn)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

JavaScript 代码

算法8

(暴力枚举) $O(nlogn)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

Ruby 代码

算法9

(暴力枚举) $O(nlogn)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

Swift 代码

算法10

(暴力枚举) $O(nlogn)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

Kotlin 代码