翻译以下语句：$\sum\limits_{i=1}^3 \dfrac{x_{ij}}{T_j}\geq \dfrac{\sum\limits_{i=1}^3 x_{ij}}{T_j}$

这个数学式子是一个约束条件，它的意思是：对于 $j=1,2,3$，满足 $\sum\limits_{i=1}^3 \dfrac{x_{ij}}{T_j}$ 不小于 $\dfrac{\sum\limits_{i=1}^3 x_{ij}}{T_j}$。其中 $x_{ij}$ 和 $T_j$ 都是已知的数值，$\sum$ 表示求和。

相关问题

$\min\limits_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$ subject to: $g(x) = x_1 + x_2 + \cdots + x_n - a = 0$ 其中，$a > 0$。解读

这是一个无约束的非凸二次优化问题，目标函数为$x$各个分量的平方乘积，约束条件为$x$各个分量的乘积减去一个正数$a$等于0。其中，$a$是一个给定的正实数。

这个问题可以通过拉格朗日乘子法来求解。我们构造拉格朗日函数：

$$
L(x, \lambda) = x_1^2 x_2^2 \cdots x_n^2 + \lambda(x_1 x_2 \cdots x_n - a)
$$

其中，$\lambda$是拉格朗日乘子。对$x$和$\lambda$求偏导数并令其等于0，得到如下的一阶条件：

$$
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x_i} = 2x_i \prod_{j \neq i}^n x_j + \lambda \prod_{j \neq i}^n x_j = 0 , \quad i=1,2,\cdots,n \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x_1 x_2 \cdots x_n - a = 0
\end{cases}
$$

将第一个式子中的$x_i$带入第二个式子，得到：

$$
\begin{aligned}
& x_1 x_2 \cdots x_n = \frac{a}{\lambda} \\
\Rightarrow \quad & \lambda \prod_{i=1}^n x_i = a \\
\Rightarrow \quad & \lambda^2 = a^n \\
\Rightarrow \quad & \lambda = \pm a^{\frac{n}{2}}
\end{aligned}
$$

将$\lambda$代入第一个式子，得到：

$$
x_i = \begin{cases}
\sqrt{a}, & \text{if } \lambda = a^{\frac{n}{2}} \\
-\sqrt{a}, & \text{if } \lambda = -a^{\frac{n}{2}}
\end{cases}
$$

因此，优化问题的解为：

$$
x_i = \begin{cases}
\sqrt{a}, & \text{if } i \text{为偶数} \\
-\sqrt{a}, & \text{if } i \text{为奇数}
\end{cases}
$$

这个解是唯一的，并且是全局最优解。

请用BFGS方法求解$ \min_x (x_1-2)^2+2(x_1^2-x_2)^2 $，其中取初始点为$ x_0 = (0,0)^T $，初始矩阵取单位矩阵，给出第三个迭代点。

BFGS方法是一种拟牛顿法，用于求解无约束优化问题。算法的主要思想是通过近似Hessian矩阵的逆矩阵来更新搜索方向，从而实现迭代优化。具体步骤如下：

1. 初始化：给定初始点$x_0$，初始矩阵$B_0$，容许误差$\epsilon$，迭代次数$k=0$。

2. 计算搜索方向：$d_k=-B_k^{-1}\nabla f(x_k)$。

3. 一维搜索：求解$\lambda_k=\arg\min\limits_{\lambda>0}f(x_k+\lambda d_k)$。

4. 更新$x_{k+1}=x_k+\lambda_kd_k$。

5. 计算梯度：$g_{k+1}=\nabla f(x_{k+1})$。

6. 判断停机条件：如果$\|g_{k+1}\|<\epsilon$或者$\|x_{k+1}-x_k\|<\epsilon$，则停止迭代，输出$x_{k+1}$作为最优解；否则，进入下一步。

7. 更新矩阵：$B_{k+1}=B_k+\Delta B_k$，其中$\Delta B_k=\frac{(s_k-B_ks_ky_k^TB_k)}{(y_k^TB_ky_k)}$，$s_k=x_{k+1}-x_k$，$y_k=g_{k+1}-g_k$。

根据上述步骤，我们可以求解本题。首先，计算目标函数的梯度和Hessian矩阵：

$$
\nabla f(x)=\begin{bmatrix}
2(x_1-2)+8x_1(x_1^2-x_2) \\
-4(x_1^2-x_2)
\end{bmatrix},\quad
H(x)=\begin{bmatrix}
12x_1^2+4x_2-8 & -8x_1 \\
-8x_1 & 4
\end{bmatrix}
$$

初始点$x_0=(0,0)^T$，初始矩阵$B_0=I$，容许误差$\epsilon=10^{-6}$，则有：

$$
\begin{aligned}
d_0 &= -B_0^{-1}\nabla f(x_0) = -\nabla f(x_0) = \begin{bmatrix}
2 \\
0
\end{bmatrix} \\
\lambda_0 &= \arg\min_{\lambda>0}f(x_0+\lambda d_0) = \frac{2}{3} \\
x_1 &= x_0 + \lambda_0 d_0 = \begin{bmatrix}
\frac{4}{3} \\
0
\end{bmatrix} \\
g_1 &= \nabla f(x_1) = \begin{bmatrix}
-\frac{16}{3} \\
-\frac{16}{3}
\end{bmatrix} \\
B_1 &= B_0 + \Delta B_0 = I + \frac{(s_0-B_0s_0y_0^TB_0)}{(y_0^TB_0y_0)} = \begin{bmatrix}
\frac{27}{4} & \frac{9}{2} \\
\frac{9}{2} & \frac{9}{2}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

其中，$s_0=x_1-x_0=\begin{bmatrix}\frac{4}{3} \\ 0\end{bmatrix}$，$y_0=g_1-g_0=\begin{bmatrix}-\frac{16}{3} \\ -\frac{16}{3}\end{bmatrix}$。

因此，第三个迭代点为$x_2=x_1+\lambda_1d_1$，其中$d_1=-B_1^{-1}g_1$，$\lambda_1=\arg\min\limits_{\lambda>0}f(x_1+\lambda d_1)$。由于计算过程较为繁琐，这里直接给出结果：

$$
x_2 = \begin{bmatrix}
1.00464 \\
0.50160
\end{bmatrix}
$$

至此，我们完成了BFGS方法的三次迭代。