7-2 一元多项式的乘法与加法运算 (20 分)

### 回答1：
一元多项式的乘法运算是指将两个或多个一元多项式相乘的运算。例如，将多项式f(x)=3x^2+2x+1和g(x)=4x^3+5x^2+6x+7相乘，得到的结果为：

f(x)×g(x) = (3x^2+2x+1)×(4x^3+5x^2+6x+7)
= 12x^5+23x^4+32x^3+31x^2+18x+7

一元多项式的加法运算是指将两个或多个一元多项式相加的运算。例如，将多项式f(x)=3x^2+2x+1和g(x)=4x^3+5x^2+6x+7相加，得到的结果为：

f(x)+g(x) = (3x^2+2x+1)+(4x^3+5x^2+6x+7)
= 4x^3+8x^2+8x+8

在一元多项式的乘法和加法运算中，需要注意多项式的次数和系数的运算。同时，还需要注意运算的顺序和规律，以避免出现错误。

### 回答2：
一元多项式的乘法运算是指将两个多项式相乘得到一个新的多项式。例如，(3x + 2)(4x + 5)可以通过分配律展开得到12x^2 + 23x + 10。在进行乘法运算时，我们需要将每个多项式中的每一项相乘，然后将结果相加。

与乘法不同，一元多项式的加法运算比较简单，只需要将相同次数的项的系数相加即可。例如，(2x^2 + 3x + 4) + (5x^2 + 2x + 1) = 7x^2 + 5x + 5。如果两个多项式中存在相同次数的项，我们只需要将它们的系数相加，然后将结果写在相同次数的项下面。

在进行一元多项式的乘法和加法运算时，我们需要注意多项式的次数。对于一个多项式P(x)，它的次数指的是其中最高阶项的次数。例如，对于P(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1，其次数为3，因为最高阶项是2x^3。

那么，怎样进行一元多项式的乘法和加法运算呢？下面给出具体的计算方法：

1. 一元多项式的乘法运算

对于两个多项式P(x)和Q(x)，它们的乘积可以表示为：

P(x)Q(x) = (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0) × (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0)

其中，a和b分别表示两个多项式中各项的系数，n和m分别表示它们的次数。

我们可以使用分配律将每一个项相乘，然后将所有的结果相加。例如，对于P(x) = 3x^2 + 2x + 1和Q(x) = 4x + 5，它们的乘积可以表示为：

P(x)Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) × (4x + 5)
= 12x^3 + 15x^2 + 8x^2 + 10x + 4x + 5
= 12x^3 + 23x^2 + 14x + 5

在进行乘法运算时，我们需要按照降幂的顺序从高到低依次计算每一项。例如，在计算12x^3时，我们需要将P(x)和Q(x)中次数为3的项相乘，即3x^2 × 4x，然后将结果12x^3写在新多项式中次数为3的项下面。

2. 一元多项式的加法运算

对于两个多项式P(x)和Q(x)，它们的和可以表示为：

P(x) + Q(x) = (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0) + (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0)

其中，a和b分别表示两个多项式中各项的系数，n和m分别表示它们的次数。

我们只需要将相同次数的项的系数相加即可。例如，对于P(x) = 2x^2 + 3x + 4和Q(x) = 5x^2 + 2x + 1，它们的和可以表示为：

P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x + 4) + (5x^2 + 2x + 1)
= 7x^2 + 5x + 5

在进行加法运算时，我们需要将P(x)和Q(x)中相同次数的项的系数相加，然后将结果写在新多项式中相同次数的项下面。如果两个多项式中不存在相同次数的项，我们可以直接将它们写在新的多项式中。

### 回答3：
一元多项式的乘法运算指的是两个多项式相乘得到一个新的多项式。一元多项式的乘法运算可以通过拆分展开的方式进行，具体方法为将每个多项式的各项相乘，再将所有相乘得到的项进行合并。例如，设有两个一元多项式f(x)和g(x)

f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + …… + anx^n

g(x) = b0 + b1x + b2x^2 + …… + bmx^m

则f(x)和g(x)的乘积fg(x)为

fg(x) = (a0b0) + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x^2 + …… + (anbm)x^n+m

其中，aibj表示f(x)和g(x)中第i+1项和第j+1项的系数的乘积。可以看出，fg(x)的次数为f(x)和g(x)的次数之和。

与乘法不同，一元多项式的加法运算是将两个多项式相加得到一个新的多项式。具体方法为将f(x)和g(x)中同一次项的系数相加，然后将所有相加得到的项进行合并。例如，设有两个一元多项式f(x)和g(x)

f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + …… + anx^n

g(x) = b0 + b1x + b2x^2 + …… + bmx^m

则f(x)和g(x)的和f+g(x)为

f+g(x) = (a0+b0) + (a1+b1)x + (a2+b2)x^2 + …… + (an+bm)x^max{n,m}

其中，max{n,m}表示n和m中的最大值。可以看出，f+g(x)中的次数不超过max{n,m}。

一元多项式的乘法和加法运算在代数学中有广泛的应用。在多项式的乘法运算中，还存在着多项式的因式分解和求根等问题，是数学中的重要研究领域。在实际应用中，多项式的乘法和加法也常用于信号处理、计算机科学等领域。