若n为正奇数,求证D2n同构Dn与(Z/2Z)之积
时间: 2024-06-03 10:13:37 浏览: 13
首先,我们需要明确一下符号的含义:
- $D_{n}$ 表示 $n$ 边形的对称群;
- $D_{2n}$ 表示 $2n$ 边形的对称群;
- $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 表示模 2 的整数环,即由 0 和 1 组成的环。
下面,我们来证明 $D_{2n}$ 同构于 $D_{n} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。
我们可以把 $D_{2n}$ 中的元素分成两类:旋转和翻转。其中,旋转包括 $n$ 个元素,分别为 $r_{0}, r_{1}, ..., r_{n-1}$,其中 $r_{i}$ 表示将整个 $2n$ 边形逆时针旋转 $i$ 个顶点所得到的置换。翻转包括 $n$ 个元素,分别为 $s_{0}, s_{1}, ..., s_{n-1}$,其中 $s_{i}$ 表示以第 $i$ 条边为轴进行翻转所得到的置换。
容易证明,$r_{i}$ 和 $r_{i+n}$ 是等价的,即 $r_{i}$ 的阶为 $n$。而每个翻转都是其本身的逆,即 $s_{i}^{2} = e$,其中 $e$ 表示恒等置换。
现在我们定义一个映射 $\varphi: D_{2n} \rightarrow D_{n} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$,将 $D_{2n}$ 中的元素映射到 $D_{n} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 中的元素。具体来说,对于 $D_{2n}$ 中的旋转 $r_{i}$,我们将其映射到 $(r_{i \bmod n}, 0)$;对于 $D_{2n}$ 中的翻转 $s_{i}$,我们将其映射到 $(r_{i}, 1)$。
容易证明,$\varphi$ 是一个同态。首先,对于 $D_{2n}$ 中的任意两个元素 $x$ 和 $y$,我们有:
- 若 $x$ 和 $y$ 都是旋转,则 $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$;
- 若 $x$ 和 $y$ 都是翻转,则 $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$;
- 若 $x$ 是旋转,$y$ 是翻转,则 $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$;
- 若 $x$ 是翻转,$y$ 是旋转,则 $\varphi(xy) = \varphi(yx) = \varphi(y)\varphi(x)$。
其次,对于 $D_{2n}$ 中的任意元素 $x$,我们有 $\varphi(x) = \varphi(x^{-1})$。这是因为:
- 若 $x$ 是旋转,则 $x^{-1}$ 也是旋转,且 $x^{-1} = r_{n-i}$,其中 $i$ 是 $x$ 逆时针旋转的顶点数。因此有 $\varphi(x^{-1}) = (r_{n-i}, 0) = (r_{i}, 0) = \varphi(x)$;
- 若 $x$ 是翻转,则 $x^{-1} = x$,且 $\varphi(x^{-1}) = \varphi(x)$。
由此,我们可以得到 $\operatorname{ker} \varphi = \{e, s_{0}, s_{1}, ..., s_{n-1}\}$。由同态基本定理,我们有 $D_{2n}/\operatorname{ker} \varphi \cong \operatorname{im} \varphi$。因为 $\varphi$ 是从 $D_{2n}$ 到 $D_{n} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的映射,所以 $\operatorname{im} \varphi$ 是 $D_{n} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的子群。因此,我们只需要证明 $|\operatorname{im} \varphi| = |D_{n} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}|$ 即可。
根据定义,$|D_{n}| = 2n$,$|\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}| = 2$,因此 $|D_{n} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}| = 4n$。又因为对于所有 $0 \leq i < n$,$(r_{i}, 0)$ 和 $(r_{i}, 1)$ 都是 $\varphi$ 的像,因此 $|\operatorname{im} \varphi| = 2n \times 2 = 4n$。因此,我们有 $|\operatorname{im} \varphi| = |D_{n} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}|$。
综上所述,我们证明了 $D_{2n}$ 同构于 $D_{n} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。
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