cauchy-schwarz不等式积分式证明
时间: 2023-03-13 22:02:17 浏览: 166
证明Cauchy-Schwarz不等式积分式时,需要用到三角不等式:$\left|\int_a^b f(x)g(x)dx\right| \le \sqrt{\int_a^b f(x)^2dx \int_a^b g(x)^2dx }$。
相关问题
迹函数的柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式是一种数学不等式,它指出了两个向量的内积不会超过它们的长度乘积。具体来说,对于实数或复数域上的两个向量 x 和 y,柯西-施瓦茨不等式可以表示为:
|x · y| ≤ ||x|| ||y||
其中,|x · y| 表示向量 x 和向量 y 的内积的绝对值,||x|| 和 ||y|| 分别表示向量 x 和向量 y 的长度。
对于函数而言,我们可以将其看作无穷维向量空间中的元素。此时,柯西-施瓦茨不等式可以表示为:
|∫f(x)g(x)dx| ≤ ∫|f(x)|^2dx ∫|g(x)|^2dx
其中,f(x) 和 g(x) 是定义在某个区间上的函数,∫ 表示区间上的积分。
证明Gagliardo-Nirenberg不等式
证明Gagliardo-Nirenberg不等式需要用到柯西-施瓦茨不等式、Hölder不等式和Young不等式。
首先,我们将待证不等式改写成如下形式:
$$
\|u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}^q\leqslant C^q\|\nabla^k u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}^{q\theta}\|u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^{q(1-\theta)}
$$
接下来,对于任意 $1\leqslant p\leqslant q<\infty$,取 $r$ 使得
$$
\frac{1}{q}=\frac{\theta}{p}+\frac{1-\theta}{r}
$$
则根据Hölder不等式和Young不等式,我们有:
\begin{aligned}
\|u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}^q&=\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^q dx\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{\theta q}|u(x)|^{(1-\theta)q}dx\\
&\leqslant \left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{p\theta q}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{r(1-\theta)q}dx\right)^{\frac{1}{r}}\\
&=\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{p\theta q}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{2(1-\theta)q}dx\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\leqslant \left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{p\theta q}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla^k u(x)|^{pq\theta/k}dx\right)^{\frac{k}{pq\theta}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^2dx\right)^{\frac{1-\theta}{2}}\\
&=\left(\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla^k u(x)|^{p\theta}dx\right)^{\frac{q\theta}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^2dx\right)^{\frac{q(1-\theta)}{2}}\\
&\leqslant C^q\|\nabla^k u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}^{q\theta}\|u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^{q(1-\theta)}
\end{aligned}
其中常数 $C$ 和 $\theta$ 与原来的定义相同。因此,原命题得证。