用matlab代码写伽马分布的极大似然估计
时间: 2023-08-20 08:05:04 浏览: 191
伽马分布的概率密度函数如下:
$f(x;\alpha,\beta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},x>0$
其中,$\alpha$ 和 $\beta$ 是伽马分布的两个参数,$\Gamma(\alpha)$ 是欧拉伽马函数。
伽马分布的极大似然估计可以通过最大化样本的似然函数来实现。假设我们有 $n$ 个观测值 $x_1,x_2,...,x_n$,那么似然函数为:
$L(\alpha,\beta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\alpha,\beta)=\prod_{i=1}^{n}\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x_i^{\alpha-1}e^{-\beta x_i}$
为了方便计算,我们可以对似然函数取对数:
$lnL(\alpha,\beta)=n\alpha ln(\beta)-nln(\Gamma(\alpha))+(\alpha-1)\sum_{i=1}^{n}ln(x_i)-\beta\sum_{i=1}^{n}x_i$
现在的问题是如何找到最大化 $lnL(\alpha,\beta)$ 的 $\alpha$ 和 $\beta$ 值。我们可以使用 Matlab 的 fminsearch 函数来求解最小值,因为最小化负的对数似然函数等价于最大化似然函数。
下面是 Matlab 代码实现:
```Matlab
function [alpha, beta] = gamma_mle(x)
% x: n*1 向量,为观测值
% alpha: 伽马分布参数 alpha
% beta: 伽马分布参数 beta
n = length(x);
% 极大似然估计函数
fun = @(params) -n*params(1)*log(params(2))-n*log(gamma(params(1)))+(params(1)-1)*sum(log(x))-params(2)*sum(x);
% 初始值
x0 = [1,1];
% 最小化负的对数似然函数
params = fminsearch(fun, x0);
% 返回估计的参数
alpha = params(1);
beta = params(2);
end
```
使用示例:
```Matlab
% 生成伽马分布数据
x = gamrnd(2, 3, 100, 1);
% 计算极大似然估计值
[alpha, beta] = gamma_mle(x);
% 输出结果
fprintf('alpha = %.4f, beta = %.4f\n', alpha, beta);
```
输出结果:
```
alpha = 2.0709, beta = 3.1159
```