输入为一个矩阵(ndarray格式)，输出为分解后的2个（特征分解）或3个（SVD）矩阵。

好的，那我稍微修改一下之前的两个函数，使它们符合你的要求：

特征分解函数：

import numpy as np

def eigen_decomposition(matrix):
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)
    return np.diag(eigenvalues), eigenvectors.T

在这个函数中，我们使用 `np.diag()` 函数将特征值转换为对角矩阵的形式，并将特征向量的转置作为第二个分解矩阵的返回值。

奇异值分解函数：

import numpy as np

def singular_value_decomposition(matrix):
    u, s, vh = np.linalg.svd(matrix)
    return u, np.diag(s), vh

在这个函数中，我们同样使用 `np.diag()` 函数将奇异值转换为对角矩阵的形式，并将左奇异向量矩阵、对角矩阵、右奇异向量矩阵作为三个分解矩阵的返回值。

这样，你只需要调用这两个函数，并将输入矩阵作为参数传入，就可以得到分解后的矩阵了。

相关问题

输入为一个矩阵(ndarray格式)，输出为分解后的2个（特征分解）或3个（SVD）矩阵不能调用numpy库或其他库中已有的矩阵分解方法/函数。

好的，那我来编写两个不使用numpy库中的矩阵分解函数的特征分解和奇异值分解函数。

特征分解函数：

def eigen_decomposition(matrix):
    n = matrix.shape[0]
    eigenvalues = np.zeros(n)
    eigenvectors = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        # 取出当前列向量
        v = matrix[:, i]
        # 初始化特征向量为列向量
        q = v
        for j in range(50):
            # 迭代计算特征向量
            q = matrix @ q
            q = q / np.linalg.norm(q)
        # 计算特征值
        eigenvalues[i] = q @ matrix @ q
        # 将特征向量作为矩阵的一列
        eigenvectors[:, i] = q
    # 返回特征值和特征向量的转置
    return np.diag(eigenvalues), eigenvectors.T

在这个函数中，我们采用了幂迭代法来计算特征向量和特征值。具体而言，我们从矩阵的某个列向量开始，进行迭代计算，得到一个逼近于最大特征向量的向量。然后，我们计算该向量在矩阵下的变换，并将其归一化，得到一个新的向量。我们不断重复这个过程，直到收敛。最终，我们得到的向量就是最大特征向量，而对应的特征值即为向量在矩阵下的变换后的长度。

奇异值分解函数：

def singular_value_decomposition(matrix):
    n, m = matrix.shape
    # 计算矩阵的转置和矩阵乘积
    mtm = matrix.T @ matrix
    mmt = matrix @ matrix.T
    # 计算对称矩阵的特征分解
    eigenvalues_u, eigenvectors_u = eigen_decomposition(mtm)
    eigenvalues_v, eigenvectors_v = eigen_decomposition(mmt)
    # 计算奇异值和左奇异向量
    s = np.sqrt(eigenvalues_u)
    u = eigenvectors_u / s
    # 计算右奇异向量
    v = np.zeros((m, n))
    for i in range(m):
        v[:, i] = (1 / s[i]) * matrix.T @ u[:, i]
    # 返回左奇异向量、奇异值和右奇异向量
    return u, np.diag(s), v.T

在这个函数中，我们首先计算了矩阵的转置和矩阵乘积，然后分别对它们进行了特征分解。接着，我们根据特征分解得到的特征向量和特征值计算了奇异值和左奇异向量。最后，我们使用左奇异向量和矩阵的转置计算右奇异向量。需要注意的是，我们在计算左奇异向量时，需要将特征值的平方根作为奇异值，而不是特征值本身。

利用numpy库编写两个函数，分别实现特征分解和奇异值分解。具体要求如下： （1）输入为一个矩阵(ndarray格式)，输出为分解后的2个（特征分解）或3个（SVD）矩阵。

以下是特征分解和奇异值分解的Python代码实现，使用了NumPy库：

import numpy as np

def eig_decomposition(matrix):
    """
    实现矩阵的特征分解，返回特征值和特征向量组成的元组

    参数：
    matrix: numpy.ndarray
        一个n x n的矩阵

    返回值：
    Tuple(numpy.ndarray, numpy.ndarray)
        一个元组，包含特征值和特征向量
    """
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)
    return eigenvalues, eigenvectors

def svd_decomposition(matrix):
    """
    实现矩阵的奇异值分解，返回左、右奇异向量和奇异值组成的元组

    参数：
    matrix: numpy.ndarray
        一个m x n的矩阵

    返回值：
    Tuple(numpy.ndarray, numpy.ndarray, numpy.ndarray)
        一个元组，包含左奇异向量、奇异值和右奇异向量
    """
    u, s, vh = np.linalg.svd(matrix)
    return u, s, vh

以上两个函数分别实现了矩阵的特征分解和奇异值分解。它们的参数都是一个NumPy数组，表示要分解的矩阵。特征分解函数返回一个元组，包含特征值和特征向量；奇异值分解函数返回一个元组，包含左奇异向量、奇异值和右奇异向量。

这些函数可以通过以下方式调用：

# 随机生成一个3 x 3的矩阵
matrix = np.random.rand(3, 3)

# 进行特征分解
eigenvalues, eigenvectors = eig_decomposition(matrix)

# 进行奇异值分解
u, s, vh = svd_decomposition(matrix)

注意，这些函数的返回值是NumPy数组，因此可以像普通数组一样使用它们。例如，要访问特征向量的第一个向量，可以使用以下代码：

first_eigenvector = eigenvectors[:, 0]

同样地，要访问奇异值的第一个值，可以使用以下代码：

first_singular_value = s[0]