找矩阵中某矩阵数量最大值算法
时间: 2023-12-14 21:16:55 浏览: 18
假设我们需要在一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 中找到一个 $k\times l$ 的子矩阵 $B$,使得 $B$ 中所有元素的和最大。可以使用动态规划来解决这个问题。
具体来说,我们使用一个 $m\times n$ 的二维数组 $dp$,其中 $dp_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的 $k\times l$ 子矩阵中所有元素的和的最大值。那么,$dp_{i,j}$ 可以通过以下递推式计算得到:
$$dp_{i,j}=\begin{cases}
A_{i,j} & \text{if}\ k=l=1\\
dp_{i,j-1}+A_{i,j} & \text{if}\ l>1\\
dp_{i-1,j}+A_{i,j} & \text{if}\ k>1\\
dp_{i-1,j-1}+\sum_{u=i-k+1}^i\sum_{v=j-l+1}^j A_{u,v} & \text{if}\ k,l>1
\end{cases}$$
在上述递推式中,第一种情况表示 $B$ 只有一个元素,那么 $dp_{i,j}$ 就是这个元素的值;第二种和第三种情况表示 $B$ 的行数或列数大于 1,那么我们可以将 $B$ 拆分成一个包含 $(i,j-1)$ 的子矩阵和一个只包含 $(i,j)$ 的矩阵(或者拆分成一个包含 $(i-1,j)$ 的子矩阵和一个只包含 $(i,j)$ 的矩阵),然后将它们的元素和相加即可;第四种情况表示 $B$ 的行数和列数都大于 1,那么我们可以将 $B$ 拆分成一个包含 $(i-1,j-1)$ 的子矩阵和一个包含 $(i,k)$ 行和 $(j,l)$ 列的矩阵,然后将它们的元素和相加即可。
最终,我们只需要在 $dp$ 数组中找到最大的元素即可,它所在的位置就是 $B$ 的右下角。时间复杂度为 $O(mnk^2l^2)$,空间复杂度为 $O(mn)$。