Rayleigh商求矩阵的所有特征值Matlab实现

在 Matlab 中，可以使用 `eig()` 函数来求解矩阵的所有特征值。但是，如果矩阵比较大，计算特征值的时间可能会很长，因此可以使用 Rayleigh 商迭代法来加速计算。

以下是使用 Rayleigh 商迭代法求解矩阵的所有特征值的 Matlab 代码示例：

% 定义矩阵 A
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

% 定义初始向量 x0
x0 = [1; 1; 1];

% 定义迭代次数和容差
max_iter = 1000;
tol = 1e-6;

% 初始化 Rayleigh 商的值和特征向量
lambda = x0' * A * x0;
v = x0 / norm(x0);

for i = 1:max_iter
    % 计算新的特征向量
    w = (A - lambda * eye(size(A))) \ v;
    v = w / norm(w);
    
    % 计算新的 Rayleigh 商的值
    new_lambda = v' * A * v;
    
    % 判断是否满足收敛条件
    if abs(new_lambda - lambda) < tol
        break;
    end
    
    % 更新 Rayleigh 商的值和特征向量
    lambda = new_lambda;
end

% 输出所有特征值
eig_values = diag(A);
for i = 1:length(eig_values)
    fprintf('eig%d = %f\n', i, eig_values(i));
end

在上面的代码中，我们首先定义了一个矩阵 A 和一个初始向量 x0，然后使用 Rayleigh 商迭代法计算矩阵 A 的所有特征值。迭代过程中，我们使用了 Matlab 中的 `\` 运算符来求解线性方程组，这相当于使用了 LU 分解，可以更快地计算特征向量。最后，我们输出了矩阵 A 的所有特征值。