用matlab代码实现下面问题：用幂法求矩阵的主特征值及对应的特征向量，并用瑞利商加速方法观察加速效果

好的，我将用 MATLAB 为您实现该问题。假设我们要求的矩阵为 A，那么下面是求解主特征值及对应的特征向量的 MATLAB 代码：

% 初始化矩阵 A
A = [1 2 3;
     4 5 6;
     7 8 9];

% 初始化初始向量 x
x = [1; 1; 1];

% 设置迭代次数和容差
num_iter = 100;
tol = 1e-6;

% 进行幂法迭代
for i = 1:num_iter
    y = A * x;
    [lambda, index] = max(abs(y));
    x = y / lambda;
    if abs(lambda - old_lambda) < tol
        break;
    end
    old_lambda = lambda;
end

% 输出主特征值和对应的特征向量
fprintf('The dominant eigenvalue is lambda = %f\n', lambda);
fprintf('The corresponding eigenvector is x =\n');
disp(x);

接下来，让我们使用瑞利商加速方法观察加速效果。瑞利商加速方法通过使用 Rayleigh 商来加速幂法的收敛速度。下面是使用瑞利商加速方法的 MATLAB 代码：

% 初始化矩阵 A 和初始向量 x
A = [1 2 3;
     4 5 6;
     7 8 9];
x = [1; 1; 1];

% 设置迭代次数和容差
num_iter = 100;
tol = 1e-6;

% 进行幂法迭代和瑞利商加速
for i = 1:num_iter
    y = A * x;
    [lambda, index] = max(abs(y));
    x = y / lambda;
    if abs(lambda - old_lambda) < tol
        break;
    end
    old_lambda = lambda;
    
    % 计算 Rayleigh 商并加速迭代
    mu = x' * A * x / (x' * x);
    x = (A - mu * eye(size(A))) \ x;
end

% 输出主特征值和对应的特征向量
fprintf('The dominant eigenvalue is lambda = %f\n', lambda);
fprintf('The corresponding eigenvector is x =\n');
disp(x);

希望这个 MATLAB 代码可以帮助您解决问题。