MATLAB实现Rayleigh商迭代法

Rayleigh商迭代法是一种求解实对称矩阵特征值和特征向量的迭代方法，其主要思想是通过Rayleigh商来逼近特征值，并利用对应的特征向量来加速迭代。以下是MATLAB实现Rayleigh商迭代法的代码：

function [lambda,x] = rayleighRitz(A,x0,tol,maxiter)
% Rayleigh-Ritz iteration for finding eigenvalues and eigenvectors
% Input:
%   A: a real symmetric matrix
%   x0: the initial guess of eigenvector
%   tol: the tolerance for convergence
%   maxiter: the maximum number of iterations
% Output:
%   lambda: the eigenvalue
%   x: the eigenvector
% Reference:
%   G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations, 4th Edition, 2013.

n = size(A,1);
x = x0/norm(x0);
lambda = x'*A*x;
iter = 0;

while iter < maxiter
    iter = iter + 1;
    % perform Rayleigh-Ritz iteration
    B = A - lambda*eye(n);
    [Q,R] = qr(B*x);
    x = Q(:,1);
    lambda = x'*A*x;
    % check convergence
    if norm(B*x-lambda*x) < tol
        break;
    end
end

if iter == maxiter
    warning('Maximum number of iterations reached!');
end
end

其中，函数输入为一个实对称矩阵A，一个初始猜测的特征向量x0，一个迭代精度tol和最大迭代次数maxiter，输出为对应的特征值lambda和特征向量x。在函数中，首先对初始猜测的特征向量进行归一化处理，然后利用Rayleigh商逼近特征值，并通过QR分解加速迭代过程。在每次迭代后，通过检查残差是否小于迭代精度来判断是否达到收敛条件。如果达到最大迭代次数仍未收敛，则给出警告信息。