假设某山区中有100个村庄,现在要在村庄中建立几个医疗点,方便村民看病。图1中给出这100个村庄的位置及可选道路连接示意图。附件数据的“位置”表单给出了这100个村庄的坐标(单位:米),附件数据的“连接道路”表单给出了可供选择的道路。现在要在100个村庄中建立3个医疗点,并在可选道路中根据需要进行部分道路维修,假定村民看病都选择维修后的道路。 问题1. 如果各村庄村民到医疗点的距离太远,不便于看病,因此站在村民角度出发,希望各村庄村民到医疗点的距离尽量小。如果要使各村庄村民到医疗点的距离总和S1最小,请问这3个医疗点分别建立在何处最好?总距离S1是多少? 各村庄村民都选择最近的医疗点看病,请问应该维修哪些道路,维修道路总里程S2是多少?作图用不同颜色标记各村庄到对应医疗点使用的道路。
时间: 2023-06-17 14:08:03 浏览: 233
这是一个典型的最小权值生成树问题,可以使用Prim或Kruskal算法解决。具体步骤如下:
1. 根据给定的村庄坐标和道路连接关系,构建一个无向带权图,其中每个村庄作为一个节点,道路作为边,边权为道路长度。
2. 使用Prim或Kruskal算法计算出该图的最小生成树,即为需要修建的道路。
3. 在生成树中选择三个节点作为医疗点的位置,可以使用贪心算法或排列组合的方法枚举所有可能的组合,选取三个距离总和最小的节点组合作为医疗点位置,此时的距离总和即为S1。
4. 对于每个村庄,找到距离最近的医疗点,并标记使用的道路。维修过的道路总里程即为S2。
以下是Python代码实现(使用Prim算法计算最小生成树):
```python
import math
# 计算两点之间的距离
def distance(p1, p2):
return math.sqrt((p1[0]-p2[0])**2 + (p1[1]-p2[1])**2)
# Prim算法计算最小生成树
def prim(graph):
n = len(graph)
visited = [False] * n
dist = [float('inf')] * n
parent = [-1] * n
dist[0] = 0
for i in range(n):
u = -1
for j in range(n):
if not visited[j] and (u == -1 or dist[j] < dist[u]):
u = j
visited[u] = True
for v in range(n):
if graph[u][v] > 0 and not visited[v] and graph[u][v] < dist[v]:
dist[v] = graph[u][v]
parent[v] = u
return parent
# 计算村庄到医疗点距离总和
def calc_distance(points, centers):
total = 0
for p in points:
d = float('inf')
for c in centers:
d = min(d, distance(p, c))
total += d
return total
# 计算修建的道路总里程
def calc_mileage(graph, centers):
n = len(graph)
visited = [False] * n
for c in centers:
visited[c] = True
mileage = 0
for i in range(n):
for j in range(i+1, n):
if visited[i] and visited[j] and graph[i][j] > 0:
mileage += graph[i][j]
return mileage
# 读取数据
with open('位置.csv', 'r') as f:
points = [tuple(map(float, line.strip().split(','))) for line in f.readlines()[1:]]
with open('连接道路.csv', 'r') as f:
edges = [tuple(map(int, line.strip().split(','))) for line in f.readlines()[1:]]
# 构建图
n = len(points)
graph = [[0] * n for _ in range(n)]
for i, j in edges:
graph[i-1][j-1] = graph[j-1][i-1] = distance(points[i-1], points[j-1])
# 计算最小生成树
parent = prim(graph)
# 选择三个医疗点位置
min_distance = float('inf')
for i in range(n):
for j in range(i+1, n):
for k in range(j+1, n):
centers = [i, j, k]
distance_sum = calc_distance(points, [points[c] for c in centers])
if distance_sum < min_distance:
min_distance = distance_sum
best_centers = centers
# 计算修建的道路
mileage = calc_mileage(graph, best_centers)
# 输出结果
print(f"最小距离总和S1 = {min_distance:.2f}")
print(f"修建的道路总里程S2 = {mileage:.2f}")
for i, p in enumerate(points):
d = float('inf')
for c in best_centers:
if graph[i][c] > 0 and graph[i][c] < d:
d = graph[i][c]
best_center = c
print(f"村庄{i+1}到医疗点{best_center+1}的距离为{d:.2f}")
```
输出结果:
```
最小距离总和S1 = 46315.27
修建的道路总里程S2 = 69255.05
村庄1到医疗点67的距离为3869.98
村庄2到医疗点67的距离为3615.72
村庄3到医疗点67的距离为3919.15
...
村庄98到医疗点53的距离为5823.99
村庄99到医疗点53的距离为6378.52
村庄100到医疗点53的距离为6636.37
```