z加i分之一的幂级数展开式
时间: 2024-05-25 21:12:00 浏览: 8
设 $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$,其中 $a_n$ 是常数。我们要求 $f(z) = (1+z)^{-1}$ 的幂级数展开式。
由于 $(1+z)f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n + \sum_{n=0}^\infty a_n z^{n+1} = a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_{n-1} + a_n) z^n$,而 $(1+z)f(z) = \frac{1}{1+z}$,因此有
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{1+z} &= a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_{n-1} + a_n) z^n \\
&= a_0 + a_1 z + \sum_{n=2}^\infty (a_{n-1} + a_n) z^n.
\end{aligned}
$$
比较等式两边 $z^n\ (n\geq 2)$ 的系数可得
$$
a_{n-1} + a_n = 0 \quad \Rightarrow \quad a_n = (-1)^n a_0.
$$
再比较等式两边 $z$ 的系数可得
$$
a_0 + a_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a_1 = -a_0.
$$
因此,$f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n = a_0 + a_1 z + \sum_{n=2}^\infty (-1)^n a_0 z^n = a_0 \left( 1 - z + z^2 - z^3 + \cdots \right)$。
注意到 $1+z$ 的绝对值小于 $1$,因此 $|z|<1$ 时有
$$
\frac{1}{1+z} = 1 - z + z^2 - z^3 + \cdots,
$$
代入 $z = i$,得到
$$
\frac{1}{1+i} = 1 - i + i^2 - i^3 + \cdots = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}.
$$
因此,$(1+i)^{-1}$ 的幂级数展开式为
$$
\frac{1}{1+i} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}.
$$
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