1/（2+x^2）的关于x的幂级数展开式

我们可以使用泰勒级数公式来展开该函数：

$$
f(x) = \frac{1}{2+x^2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{2}} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{x^{2n}}{2^n}
$$

因此，1/（2+x^2）的关于x的幂级数展开式为：

$$
\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{x^{2n}}{2^n}
$$

相关问题

1/(x^2-4*x+3)展开成关于x的幂级数

首先，我们要将分母进行分解因式：$1/(x^2-4x+3) = 1/[(x-1)(x-3)]$。

接下来，我们可以使用部分分式分解的方法，将 $1/[(x-1)(x-3)]$ 拆分成

$$
\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3}
$$

其中 $A$ 和 $B$ 是待定系数。将上式通分化简，得到：

$$
\frac{1}{(x-1)(x-3)} = \frac{A(x-3) + B(x-1)}{(x-1)(x-3)}
$$

比较分子分母，得：

$$
1 = A(x-3) + B(x-1)
$$

令 $x=1$，得到 $B=1$；令 $x=3$，得到 $A=1$。因此，

$$
\frac{1}{(x-1)(x-3)} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3}
$$

现在，我们可以将 $\dfrac{1}{x^2-4x+3}$ 展开成幂级数：

$$
\frac{1}{x^2-4x+3} = \frac{1}{(x-1)(x-3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} \right)
$$

然后，我们可以使用基本的幂级数公式，展开 $\dfrac{1}{x-1}$ 和 $\dfrac{1}{x-3}$：

$$
\frac{1}{x-1} = -\sum_{n=0}^\infty (x-1)^n
$$

$$
\frac{1}{x-3} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x-3)^n}{3^{n+1}}
$$

因此，

$$
\frac{1}{(x-1)(x-3)} = \frac{1}{2} \left( -\sum_{n=0}^\infty (x-1)^n + \sum_{n=0}^\infty \frac{(x-3)^n}{3^{n+1}} \right)
$$

合并同类项，得到：

$$
\frac{1}{x^2-4x+3} = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(3-x)^n}{3^{n+1}} - \sum_{n=0}^\infty (x-1)^n \right)
$$

这就是 $\dfrac{1}{x^2-4x+3}$ 的幂级数展开形式。

将函数1/x*（x+2）展开成x+1的幂级数

首先，我们将1/(x+2)展开成(x+1)的幂级数：

1/(x+2) = 1/(1+(x+1)) = 1 - (x+1) + (x+1)^2 - (x+1)^3 + ...

然后，我们将这个展开式乘以1/x，得到：

1/x*（x+2）= (1/x) - (x+1)/x + (x+1)^2/x - (x+1)^3/x + ...

接下来，我们需要将这个展开式整理成x+1的幂级数形式。我们可以将每一项都乘以x，得到：

1/x*（x+2）= 1 - (x+1) + (x+1)^2/x - (x+1)^3/x + ...
= (1*x^0) - (1*x^1 + 1*x^0) + ((1/x)*(1*x^2 + 2*x + 1)) - ((1/x)*(1*x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1)) + ...

我们可以看出，每一项的系数都是由(x+1)的幂级数的系数和1/x的系数相乘得到的。因此，我们只需要求出(x+1)的幂级数的系数即可。

根据二项式定理，(x+1)^n的展开式中，x的系数为C(n+1,1)，即n+1。因此，我们得到了函数1/x*（x+2）的展开式：

1/x*（x+2）= x^0 - (x+1)*x^1 + (x^2 + 2*x + 1)*x^-1 - (x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1)*x^-2 + ...

化简后得到：

1/x*（x+2）= 1 - x + 3*x^-1 - 4*x^-2 + 5*x^-3 - ...