1/(2023-x)展开成x的幂级数
时间: 2024-04-04 16:29:55 浏览: 10
我们可以使用幂级数展开公式:
$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$$
将 $x$ 替换为 $x/2023$,得到:
$$\frac{1}{2023-x} = \frac{1}{2023(1-\frac{x}{2023})} = \frac{1}{2023} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2023})^n$$
将括号展开,得到:
$$\frac{1}{2023-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2023^{n+1}}$$
因此,$1/(2023-x)$ 的幂级数展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2023^{n+1}}$。
相关问题
ln(1-x)展开成麦克劳林幂级数
$$
\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
$$
这是因为当 $|x|<1$ 时,有:
$$
\begin{aligned}
\ln(1-x)&=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\mathrm{d}t\\
&=-\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}t^n\mathrm{d}t\\
&=-\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x}t^{n-1}\mathrm{d}t\\
&=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
\end{aligned}
$$
其中最后一步的积分公式为:
$$
\int x^{n-1}\mathrm{d}x=\frac{x^n}{n}+C
$$
其中 $C$ 是常数。
将1/(1-x-x²)展开为x³的幂级函数
首先,我们可以使用部分分式分解将1/(1-x-x²)分解为以下形式:
1/(1-x-x²) = A/(x+φ) + B/(x+Φ) + C/(1-Φx)
其中,φ 和 Φ 是第一和第二个黄金分割比例,它们是关于x²-x-1=0的两个实根,其值分别为:
φ = (1-√5)/2 ≈ -0.618
Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618
然后,我们可以对每个分式进行展开,得到以下形式:
1/(1-x-x²) = A/(x+φ) + B/(x+Φ) + C/(1-Φx)
= A(x+Φ)/(1-Φ²x²) + B(x+φ)/(1-φ²x²) + C(φx+Φ)/(1-Φx)
接下来,我们可以使用幂级数公式将每个分式展开为幂级数,得到以下形式:
1/(1-x-x²) = A(x+Φ)/(1-Φ²x²) + B(x+φ)/(1-φ²x²) + C(φx+Φ)/(1-Φx)
= A(x+Φ)∑(n≥0)(Φ²x²)ⁿ + B(x+φ)∑(n≥0)(φ²x²)ⁿ + C(φx+Φ)∑(n≥0)(Φx)ⁿ
然后,我们可以将每一项中的x³提取出来,得到以下形式:
1/(1-x-x²) = AΦ²x³∑(n≥0)(Φ²x²)ⁿ + Bφ²x³∑(n≥0)(φ²x²)ⁿ + CΦ(φx)³∑(n≥0)(Φx)ⁿ
最后,我们可以将每个幂级数中的项数限制为3以上,得到最终的展开式:
1/(1-x-x²) = AΦ²x³(1+Φ²x²+Φ⁴x⁴+...) + Bφ²x³(1+φ²x²+φ⁴x⁴+...) + CΦ(φx)³(1+Φx+Φ²x²+...)
因此,将1/(1-x-x²)展开为x³的幂级函数的结果为:
1/(1-x-x²) = AΦ²x³+ Bφ²x³+ CΦ(φx)³