将函数1/x*(x+2)展开成x+1的幂级数
时间: 2024-03-07 18:52:09 浏览: 17
首先,我们将1/(x+2)展开成(x+1)的幂级数:
1/(x+2) = 1/(1+(x+1)) = 1 - (x+1) + (x+1)^2 - (x+1)^3 + ...
然后,我们将这个展开式乘以1/x,得到:
1/x*(x+2)= (1/x) - (x+1)/x + (x+1)^2/x - (x+1)^3/x + ...
接下来,我们需要将这个展开式整理成x+1的幂级数形式。我们可以将每一项都乘以x,得到:
1/x*(x+2)= 1 - (x+1) + (x+1)^2/x - (x+1)^3/x + ...
= (1*x^0) - (1*x^1 + 1*x^0) + ((1/x)*(1*x^2 + 2*x + 1)) - ((1/x)*(1*x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1)) + ...
我们可以看出,每一项的系数都是由(x+1)的幂级数的系数和1/x的系数相乘得到的。因此,我们只需要求出(x+1)的幂级数的系数即可。
根据二项式定理,(x+1)^n的展开式中,x的系数为C(n+1,1),即n+1。因此,我们得到了函数1/x*(x+2)的展开式:
1/x*(x+2)= x^0 - (x+1)*x^1 + (x^2 + 2*x + 1)*x^-1 - (x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1)*x^-2 + ...
化简后得到:
1/x*(x+2)= 1 - x + 3*x^-1 - 4*x^-2 + 5*x^-3 - ...
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$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{x^n}{4^n}$$
接着,我们可以将$x/√(1+x²)$表示为$f(x^2)$的形式,即:
$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=x\cdot\frac{1}{\sqrt{1+(-x^2)}}=x\cdot f(-x^2)$$
然后,我们可以将$f(-x^2)$代入$f(x)$的级数展开式,得到
$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=x\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{(-x^2)^n}{4^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{4^n}$$
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$$
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$$
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$$
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$$
然后,将$x_0=2$代入泰勒级数公式中,得到:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(2)}{n!}(x-2)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-2)^n
$$
因此,将函数$f(x)=1/x$在$x_0=2$展开为幂级数的结果为:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-2)^n
$$