1/(x^2-4*x+3)展开成关于x的幂级数

首先，我们要将分母进行分解因式：$1/(x^2-4x+3) = 1/[(x-1)(x-3)]$。

接下来，我们可以使用部分分式分解的方法，将 $1/[(x-1)(x-3)]$ 拆分成

$$
\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3}
$$

其中 $A$ 和 $B$ 是待定系数。将上式通分化简，得到：

$$
\frac{1}{(x-1)(x-3)} = \frac{A(x-3) + B(x-1)}{(x-1)(x-3)}
$$

比较分子分母，得：

$$
1 = A(x-3) + B(x-1)
$$

令 $x=1$，得到 $B=1$；令 $x=3$，得到 $A=1$。因此，

$$
\frac{1}{(x-1)(x-3)} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3}
$$

现在，我们可以将 $\dfrac{1}{x^2-4x+3}$ 展开成幂级数：

$$
\frac{1}{x^2-4x+3} = \frac{1}{(x-1)(x-3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} \right)
$$

然后，我们可以使用基本的幂级数公式，展开 $\dfrac{1}{x-1}$ 和 $\dfrac{1}{x-3}$：

$$
\frac{1}{x-1} = -\sum_{n=0}^\infty (x-1)^n
$$

$$
\frac{1}{x-3} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x-3)^n}{3^{n+1}}
$$

因此，

$$
\frac{1}{(x-1)(x-3)} = \frac{1}{2} \left( -\sum_{n=0}^\infty (x-1)^n + \sum_{n=0}^\infty \frac{(x-3)^n}{3^{n+1}} \right)
$$

合并同类项，得到：

$$
\frac{1}{x^2-4x+3} = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(3-x)^n}{3^{n+1}} - \sum_{n=0}^\infty (x-1)^n \right)
$$

这就是 $\dfrac{1}{x^2-4x+3}$ 的幂级数展开形式。