exp(-t)傅里叶变换频谱分析
时间: 2024-02-03 12:11:25 浏览: 137
假设函数 $f(t)=e^{-t}$,则它的傅里叶变换为:
$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$
代入 $f(t)$:
$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t}e^{-i\omega t}dt$$
合并底数为 $e^{-(1+i\omega)t}$:
$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(1+i\omega)t}dt$$
积分:
$$F(\omega)=\frac{1}{1+i\omega}$$
所以,$f(t)=e^{-t}$ 的傅里叶变换频谱分析为:
$$F(\omega)=\frac{1}{1+i\omega}$$
我们可以绘制出该函数的幅度谱和相位谱:
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义函数
f = lambda t: np.exp(-t)
# 定义频率范围
w = np.linspace(-5, 5, 1000)
# 计算幅度谱和相位谱
amp = 1 / np.sqrt(1 + w ** 2)
phase = -np.arctan(w)
# 绘制幅度谱
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(w, amp)
plt.title("Amplitude Spectrum")
plt.xlabel("$\omega$")
plt.ylabel("$|F(\omega)|$")
# 绘制相位谱
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(w, phase)
plt.title("Phase Spectrum")
plt.xlabel("$\omega$")
plt.ylabel("$\phi(\omega)$")
plt.tight_layout()
plt.show()
```
![png](output_1_0.png)
从幅度谱可以看出,当 $\omega$ 趋近于无穷大时,幅度趋近于 0,说明高频分量被滤除了。而当 $\omega$ 趋近于 0 时,幅度趋近于 1,说明低频分量被保留了。
从相位谱可以看出,当 $\omega$ 趋近于无穷大时,相位趋近于 $-\frac{\pi}{2}$,说明高频分量的相位有一个固定的偏移量。而当 $\omega$ 趋近于 0 时,相位趋近于 0,说明低频分量的相位没有发生变化。
阅读全文