exp(-t)傅里叶变换频谱分析

假设函数 $f(t)=e^{-t}$，则它的傅里叶变换为：

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$

代入 $f(t)$：

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t}e^{-i\omega t}dt$$

合并底数为 $e^{-(1+i\omega)t}$：

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(1+i\omega)t}dt$$

积分：

$$F(\omega)=\frac{1}{1+i\omega}$$

所以，$f(t)=e^{-t}$ 的傅里叶变换频谱分析为：

$$F(\omega)=\frac{1}{1+i\omega}$$

我们可以绘制出该函数的幅度谱和相位谱：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
f = lambda t: np.exp(-t)

# 定义频率范围
w = np.linspace(-5, 5, 1000)

# 计算幅度谱和相位谱
amp = 1 / np.sqrt(1 + w ** 2)
phase = -np.arctan(w)

# 绘制幅度谱
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(w, amp)
plt.title("Amplitude Spectrum")
plt.xlabel("$\omega$")
plt.ylabel("$|F(\omega)|$")

# 绘制相位谱
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(w, phase)
plt.title("Phase Spectrum")
plt.xlabel("$\omega$")
plt.ylabel("$\phi(\omega)$")

plt.tight_layout()
plt.show()


从幅度谱可以看出，当 $\omega$ 趋近于无穷大时，幅度趋近于 0，说明高频分量被滤除了。而当 $\omega$ 趋近于 0 时，幅度趋近于 1，说明低频分量被保留了。

从相位谱可以看出，当 $\omega$ 趋近于无穷大时，相位趋近于 $-\frac{\pi}{2}$，说明高频分量的相位有一个固定的偏移量。而当 $\omega$ 趋近于 0 时，相位趋近于 0，说明低频分量的相位没有发生变化。