求矩阵A=[3 -1 3 2 5,5 -3 2 3 4,1 -3 -5 0 -7,7 -5 1 4 1]的最简式
时间: 2024-05-31 09:10:22 浏览: 10
为了求出矩阵A的最简式,我们需要对它进行行变换,使得矩阵满足以下条件:
1. 左侧的第一个非零元素(即主元素)在每一行中向下移动;
2. 主元素下面的所有元素都为零。
按照高斯-约旦消元法的步骤进行操作,我们可以得到矩阵A的最简式:
[1 0 0 1 -1,
0 1 0 2 -1,
0 0 1 -1 2,
0 0 0 0 0]
因此,矩阵A的最简式为:
A=[1 -1 1 0 0,
2 -1 0 1 0,
-1 2 1 0 0,
0 0 0 0 0]
相关问题
矩阵A=2 -1,-2 4求P(A)
要求出矩阵A的特征多项式P(A),可以按照以下步骤进行:
1. 计算|A-λI|,其中λ为待定的特征值,I为同阶的单位矩阵。
2. 将|A-λI|展开并化简,得到P(λ)。
3. 求解方程P(λ)=0,得到A的特征值λ1和λ2。
4. 对于每个特征值λi,求解方程(A-λiI)x=0,得到对应的特征向量vi。
5. 将特征向量vi按列组成一个矩阵V,即V=[v1,v2,...,vn]。
6. 将特征值按对角线排列成一个矩阵Λ,即Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)。
7. 则P(A)=VΛV^-1。
根据上述步骤,我们可以得出矩阵A的特征多项式P(λ)为:
P(λ)=|A-λI|=(2-λ)(4-λ)-(-1)(-2) = λ^2 - 6λ + 9
解方程P(λ)=0,得到特征值λ1=λ2=3。
对于λ=3,解方程(A-3I)x=0,得到特征向量v1=[1,1]。
因此,V=[1,1],Λ=diag(3,3),且V^-1=1/2[-1,1]。
最终得到P(A)=VΛV^-1=1/2[1,1][[3,0],[0,3]][-1,1]=[[1,1],[-1,1]]。
求矩阵A=[3 -1 3 2 5,5 -3 2 3 4,1 -3 -5 0 -7,7 -5 1 4 1]的行最简式
首先将矩阵化为梯形矩阵:
$$
\begin{bmatrix}
3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\
5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\
1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\
7 & -5 & 1 & 4 & 1
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\
0 & -2 & -13 & -7 & -21 \\
0 & -2 & -8 & -2 & -12 \\
0 & -8 & -20 & -10 & -34
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\
0 & -2 & -13 & -7 & -21 \\
0 & 0 & 5 & 5 & 9 \\
0 & 0 & 76 & 36 & 142
\end{bmatrix}
$$
接着将梯形矩阵化为行最简式:
$$
\begin{bmatrix}
3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\
0 & -2 & -13 & -7 & -21 \\
0 & 0 & 5 & 5 & 9 \\
0 & 0 & 76 & 36 & 142
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & -\frac{1}{3} & 1 & \frac{2}{3} & \frac{5}{3} \\
0 & 1 & \frac{13}{2} & \frac{7}{2} & \frac{21}{2} \\
0 & 0 & 1 & 1 & \frac{9}{5} \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac{11}{19}
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{44}{57} \\
0 & 1 & \frac{13}{2} & \frac{7}{2} & \frac{21}{2} \\
0 & 0 & 1 & 1 & \frac{9}{5} \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac{11}{19}
\end{bmatrix}
$$
因此,矩阵 $A$ 的行最简式为:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{44}{57} \\
0 & 1 & \frac{13}{2} & \frac{7}{2} & \frac{21}{2} \\
0 & 0 & 1 & 1 & \frac{9}{5} \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac{11}{19}
\end{bmatrix}
$$
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