证明:最小割问题的如下随机算法输出最小割的概率为 (1/n 2 )。 输入:一个多重无向连通图 G=(V,E); 输出:G 的一个最小边割。 Random_Mincut 1. 为图 G 的任意边赋予一个随机独立的正权值; 2. 找出 G 的最小生成树 T; 3. 删除 T 中权值最大的一条边得到两棵树 T1,T2; 4. 令 T1 的顶点集为 C,则 T2 的顶点集为 V-C; 5. cut={uv| uvE, uC, vV-C} 6. 输出 cut.
时间: 2024-03-31 11:38:08 浏览: 34
首先,我们需要了解最小割问题的一个性质:最小割的大小等于所有割中横跨割的边中最小的权值。也就是说,最小割的大小不超过所有边中的最小权值。
接下来,我们证明在 Random_Mincut 算法中,任意一次迭代输出最小割的概率为 Ω(1/n^2)。
假设图 G 有 n 个节点,最小割的大小为 k。我们定义一条边为“关键边”,当且仅当它的权值等于 k。我们假设最小生成树 T 中有 m 条关键边。
在第一次迭代中,我们随机地选择一条边 e 并删除它。如果 e 是一条关键边,那么算法成功地找到了最小割,输出的 cut 就是最小割。因此,我们只需要证明,每次迭代中选择一条关键边的概率至少为 Ω(1/n^2),就可以证明算法输出最小割的概率为 Ω(1/n^2)。
我们可以发现,在最小生成树中,每个节点的度数不超过 n-1。因此,每个节点到另一个节点的关键边数量也不超过 n-1。那么,在一次迭代中,我们随机选择一条边,它是一条关键边的概率为 m/n^2。因此,我们至少需要进行 Ω(n^2/m) 次迭代才能找到一条关键边。根据前面的假设,最小割的大小为 k,因此最小生成树中的关键边数量不超过 k-1。因此,我们可以得到:
m ≤ k - 1
因此:
n^2/m ≥ n^2/(k-1)
因此,我们可以得到:
迭代次数 ≥ Ω(n^2/(k-1))
因此,我们可以得到,每次迭代中选择一条关键边的概率至少为 Ω(1/n^2)。因此,算法输出最小割的概率为 Ω(1/n^2)。
相关问题
输入一个整数n,输出比n大的最小素数。 注意:如果输入负数,请输出0。
好的,我会编写一个程序来解决这个问题。以下是 Python 代码实现:
```
def is_prime(num):
"""判断一个数是否是素数"""
if num < 2:
return False
for i in range(2, int(num ** 0.5) + 1):
if num % i == 0:
return False
return True
def next_prime(num):
"""找到比num大的最小素数"""
if num < 0:
return 0
num += 1 # 从比num大的数开始找
while True:
if is_prime(num):
return num
num += 1
n = int(input("请输入一个整数: "))
print(next_prime(n))
```
你可以将上述代码保存为一个 `.py` 文件,并在命令行或 Python 解释器中运行它。
数据结构:设计一个算法,通过一趟遍历确定长度为n的单链表中值最小的结点
可以使用一个变量来记录当前遍历到的最小值节点,然后依次遍历整个链表,如果遍历到的节点的值小于当前最小值节点的值,就更新最小值节点为当前节点。最终遍历完整个链表后,最小值节点就是整个链表中值最小的节点。
以下是实现该算法的伪代码:
```
min_node = head // 初始化最小值节点为链表头节点
current = head.next // 从第二个节点开始遍历整个链表
while current != null do
if current.value < min_node.value then
min_node = current // 更新最小值节点
end if
current = current.next // 遍历下一个节点
end while
return min_node // 返回值最小的节点
```
需要注意的是,上述算法的时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)。
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