四面体的顶点坐标为 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(2,2,2),如图所示,求解图形关于AC边逆时针施转45”的变换过程:
时间: 2023-10-10 09:15:01 浏览: 119
首先,我们需要确定旋转轴。由于题目中已经给出了旋转的角度和旋转的方向,我们可以确定旋转轴为垂直于平面AC的向量。假设该向量为 $\vec{n}$,则有:
$$
\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{k} = \begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}
$$
接下来,我们需要确定旋转中心。由于题目中要求是以点 $A$ 为中心逆时针旋转,因此旋转中心就是点 $A$。
最后,我们需要确定旋转矩阵。旋转矩阵可以通过 Rodrigues 公式计算得到:
$$
R = \cos \theta I + (1 - \cos \theta) \frac{\vec{n} \vec{n}^T}{\lvert \vec{n} \rvert^2} + \sin \theta [\vec{n}]_\times
$$
其中,$\theta$ 表示旋转的角度,$I$ 表示单位矩阵,$[\vec{n}]_\times$ 表示叉乘矩阵。代入题目中的数据,可以得到旋转矩阵为:
$$
R = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{2}}{4}\\
\frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{4}\\
-\frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}
$$
现在,我们可以分别对四个顶点进行变换,得到它们在旋转后的坐标。具体地,设顶点 $P$ 原来的坐标为 $(x,y,z)$,则旋转后的坐标为 $(x',y',z')$,有:
$$
\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = R \begin{pmatrix}x - 2\\y\\z\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}
$$
最终的结果如下:
$$
\begin{aligned}
A' &= \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\\
B' &= \begin{pmatrix}2\\ \sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\end{pmatrix}\\
C' &= \begin{pmatrix}-\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0\end{pmatrix}\\
D' &= \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 2\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
其中,$A'$ 表示点 $A$ 旋转后的坐标。
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