求x=0,y=0,z=0,x=2,y=3与x+y+z=4所构成图形的体积
时间: 2024-05-19 18:11:52 浏览: 52
这些方程所定义的图形是一个四面体。可以使用向量法来计算它的体积。
首先,将方程转化为向量形式:
$\vec{r_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\vec{r_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\vec{r_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\vec{r_4} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$
然后,使用向量叉积计算三角形的面积,并将它们加起来,得到四面体的体积:
$V = \frac{1}{6}|\vec{r_1}\cdot(\vec{r_2} - \vec{r_1})\times(\vec{r_3} - \vec{r_1})| +\frac{1}{6}|\vec{r_2}\cdot(\vec{r_3} - \vec{r_2})\times(\vec{r_4} - \vec{r_2})|$
$+\frac{1}{6}|\vec{r_3}\cdot(\vec{r_4} - \vec{r_3})\times(\vec{r_1} - \vec{r_3})| +\frac{1}{6}|\vec{r_4}\cdot(\vec{r_1} - \vec{r_4})\times(\vec{r_2} - \vec{r_4})|$
计算得到:
$V = \frac{1}{6}|6\hat{k}| +\frac{1}{6}|-8\hat{k}| +\frac{1}{6}|6\hat{k}| +\frac{1}{6}|6\hat{k}| = \frac{7}{3}$
因此,这个四面体的体积是 $\frac{7}{3}$。