原点到平面x+y+z=2的距离
时间: 2023-12-14 21:02:36 浏览: 29
要求原点到平面 x+y+z=2 的距离,可以按照以下步骤进行计算:
1. 确定平面的法向量:由于平面方程为 x+y+z=2,可以看出法向量为 (1, 1, 1)。
2. 计算法向量的模长:法向量的模长即为平面的法向量的长度,可以使用欧几里得范数计算。
模长 = sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(3)
3. 计算原点到平面的距离:原点到平面的距离即为原点到平面上任意一点的距离。选择平面上的一个点,例如 (1, 0, 1),计算原点到该点的距离。
距离 = |(1*0 + 0*0 + 1*0 - 2) / sqrt(3)| = 2 / sqrt(3)
因此,原点到平面 x+y+z=2 的距离为 2 / sqrt(3)。
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1. 确定截面:首先,由于球心在原点,球与平面的截面必然存在于平面上。将平面方程 x + y + z = 2 代入球的方程 x^2 + y^2 + z^2 = 4,可以得到截面的方程。
将 x + y + z = 2 代入 x^2 + y^2 + z^2 = 4,得到 x^2 + y^2 + (2 - x - y)^2 = 4。展开并整理得到 2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 3 = 0。
2. 计算截面圆的半径:截面圆的半径即为该二次曲线的半径。可以将二次曲线转化为标准形式,并应用圆的标准方程,从而得到半径。
将 2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 3 = 0 转化为标准形式,得到 (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1。
由标准方程可知,截面圆的半径为 1。
因此,球与平面的截面圆的半径为 1。
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将 x + y + z = 2 代入 x^2 + y^2 + z^2 = 4,得到 x^2 + y^2 + (2 - x - y)^2 = 4。展开并整理得到 2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 3 = 0。
解这个方程组,得到切点的坐标为 (x, y, z) = (1, 1, 0)。
2. 计算切点到球心的距离:切点到球心的距离即为球与平面的切面圆的半径。根据切点的坐标 (1, 1, 0) 和球心在原点,使用欧几里得距离公式计算距离:
距离 = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
= sqrt((0 - 1)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - 0)^2)
= sqrt(2)
因此,球与平面的切面圆的半径为 sqrt(2)。