投掷一枚均匀硬币 n 次，如果第 i 次投掷和第 j 次投掷出现同一面，则令 Xij=1, 否则令 Xij=0。证明：Xij（i<j）两两独立但不相互独立。

好的，我可以回答这个问题。首先，我们考虑任意两次投掷，设它们的结果分别为 a 和 b。我们可以列出如下矩阵：

| | a | b |
|----|---|---|
| a | 1 | 0 |
| b | 0 | 1 |

可以看出，若 a=b，则 Xij=1；否则，Xij=0。因此，Xij 的取值只有 0 和 1 两种可能。而对于任意的 i、j、k 和 l（其中 i<j，k<l），我们可以考虑如下两种情况：

- i 和 k 相等，j 和 l 相等
- i 和 l 相等，j 和 k 相等

在第一种情况下，我们要判断 Xij 和 Xkl 是否独立。根据定义，Xij=1 当且仅当第 i 次和第 j 次投掷出现同一面，而 Xkl=1 当且仅当第 k 次和第 l 次投掷出现同一面。由于 i<j，k<l，因此这两个事件是不可能同时发生的，所以它们是独立的。同理，在第二种情况下，Xij 和 Xkl 也是独立的。

然而，当 i<j，j<k，k<l 时，我们不能简单地根据上述两种情况说明 Xij 和 Xkl 是独立的。这时，我们需要考虑第 i+1 到第 k-1 次投掷的结果。具体来说，设从 i+1 到 j 的这些次投掷的结果为 P1，从 j+1 到 k 的这些次投掷的结果为 P2，从 k+1 到 l 的这些次投掷的结果为 P3。显然，这三个事件是互不相关的，且它们的取值不会影响 Xij 和 Xkl 的取值。因此，Xij 和 Xkl 是独立的。

综上所述，我们证明了 Xij（i<j）两两独立但不相互独立。