已知相机外参矩阵,求各轴旋转角度

相机外参矩阵通常是一个 4x4 的矩阵，其中包含了相机的平移和旋转信息。假设相机外参矩阵为 $M$，我们可以通过以下方式求解各轴旋转角度：

1. 提取旋转矩阵 $R$：相机外参矩阵 $M$ 的前三列为旋转矩阵 $R$，即 $R=M_{[1:3,\,1:3]}$。

2. 计算旋转矩阵的欧拉角：将旋转矩阵 $R$ 转换为欧拉角（roll、pitch、yaw）表示。具体方法因不同的旋转顺序而异，这里以 Z-Y-X 顺序为例，即先绕 Z 轴旋转 yaw 角度，再绕 Y 轴旋转 pitch 角度，最后绕 X 轴旋转 roll 角度。则有：

- pitch = $\arcsin(-R_{31})$
- yaw = $\arctan2(R_{21},\,R_{11})$
- roll = $\arctan2(R_{32},\,R_{33})$

其中 $\arcsin(\cdot)$ 和 $\arctan2(\cdot)$ 分别表示反正弦和反正切函数，它们可以使用计算机库函数实现。

注意，欧拉角的解并不唯一，因为可以通过不同的旋转顺序得到不同的欧拉角。此外，欧拉角存在万向锁问题，即当 pitch 角度接近 $\pm \frac{\pi}{2}$ 时，yaw 和 roll 角度无法唯一确定。为了避免这个问题，可以使用四元数或旋转矩阵来表示旋转。

相关问题

已知相机只在俯仰角上有变化，且俯仰角变化量为y，则对应的用于更新外参矩阵的旋转矩阵怎么计算？

如果相机仅在俯仰（ Pitch ）角发生变化，即绕Z轴旋转，其旋转矩阵会是一个绕Z轴旋转的角度 `y` 的旋转变换。在计算机视觉中，这种旋转可以用Rodrigues公式或者特殊的旋转矩阵来表示。这里我们用二维旋转矩阵为例说明，因为俯仰角的变化不会涉及到绕X和Y轴的旋转。

二维旋转矩阵 `R` 关于Z轴（绕Y轴转）的表达式为：

R(y) = [
    cos(y), -sin(y),
    sin(y), cos(y)
]

这里的 `cos(y)` 和 `-sin(y)` 分别对应于新矩阵的第一列和第二列，`sin(y)` 和 `cos(y)` 对应于第三列和第四列。如果你需要四维旋转矩阵（3D空间），则在原基础上加上Z轴的单位向量 `[0, 0, 1]`，并保持前三个维度不变，得到：

R_4D(y) = [
    R(y)[0], R(y)[1], 0,
    R(y)[2], R(y)[3], 0,
    0,       0,       1
]

这将适用于更新四元数变换矩阵或外参矩阵（也称为相机矩阵）。在这种情况下，原始的旋转矩阵会被替换为 `R_4D(y)`。

已知pc pw 怎样求相机外参

在计算机视觉领域，相机外参是指相机在世界坐标系中的位置和朝向，用以描述相机的位置和观察角度。已知相机的内参（即相机的固有参数）和一组2D-3D点对（即图像上的像素坐标和对应的世界坐标），我们可以通过求解相机的外参来确定相机在世界坐标系中的位置和朝向。

假设我们已知相机的内参矩阵为K，其中包含了相机的焦距、主点和图像像素尺寸等信息。我们已知的2D-3D点对可以表示为(u_i, v_i, 1)和(X_i, Y_i, Z_i, 1)，其中(u_i, v_i)是图像上的像素坐标，(X_i, Y_i, Z_i)是对应的世界坐标。

首先，我们可以将相机内参矩阵K和2D-3D点对表示为齐次坐标形式：

[u_i*v_i*w_i]^T = K[R|T]*[X_i*Y_i*Z_i*1]^T

其中，R为旋转矩阵，T为平移向量。我们的目标是求解R和T。

如果我们有足够的2D-3D点对数据，我们可以通过最小化重投影误差来求解相机外参。重投影误差是指通过将世界坐标点投影到图像平面，然后与对应的图像上的像素坐标进行比较，计算得到的误差。最小化重投影误差可以通过非线性优化算法（如Levenberg-Marquardt算法）来实现。

具体步骤如下：
1. 记录所有的2D-3D点对(u_i, v_i, X_i, Y_i, Z_i)。
2. 初始化相机外参矩阵[R|T]的估计值。
3. 使用非线性优化算法，通过最小化重投影误差来优化相机外参矩阵[R|T]，使得投影点和图像上的像素点尽可能地接近。
4. 对于足够数量的2D-3D点对，重复步骤3，直到获得满意的相机外参矩阵[R|T]。

需要注意的是，求解相机外参需要有足够数量的2D-3D点对，并且这些点对的3D坐标在世界坐标系中是已知的。此外，相机内参矩阵K也需要提前估计或者校准。

总结起来，我们可以通过最小化重投影误差，利用相机的内参矩阵和2D-3D点对数据，求解相机的外参矩阵[R|T]来确定相机在世界坐标系中的位置和朝向。