②一阶带通滤波器可由下列差分方程描述： ， 其中 为系统输入， 为系统输出。请求出当激励为 （选取适当的n值）时滤波器的稳态输出。

差分方程为：

$$y[n] - 2cos(\omega_c)y[n-1] + y[n-2] = x[n] - 2cos(\omega_c)x[n-1] + x[n-2]$$

其中，$\omega_c$为通带中心频率，$x[n]$为系统输入，$y[n]$为系统输出。

当激励为$x[n] = \cos(\omega_0n)$时，其中$\omega_0$为信号频率。

将$x[n]$代入差分方程，得：

$$y[n] - 2cos(\omega_c)y[n-1] + y[n-2] = \cos(\omega_0n) - 2cos(\omega_c)\cos(\omega_0(n-1)) + \cos(\omega_0(n-2))$$

设滤波器的稳态输出为$y_s[n]$，代入差分方程并令$n=n-1$，得：

$$y_s[n-1] - 2cos(\omega_c)y_s[n-2] + y_s[n-3] = \cos(\omega_0(n-1)) - 2cos(\omega_c)\cos(\omega_0(n-2)) + \cos(\omega_0(n-3))$$

因为是稳态输出，所以$y_s[n]=y_s[n-1]=y_s[n-2]=...=y_s[n-k]$，其中$k$为滤波器的阶数。

将上式整理，得：

$$y_s[n] = \frac{\cos(\omega_0(n-1)) - 2cos(\omega_c)\cos(\omega_0(n-2)) + \cos(\omega_0(n-3)) + 2cos(\omega_c)y_s[n-1] - y_s[n-2]}{1-2cos(\omega_c)+cos^2(\omega_c)}$$

选取$k=2$，即为一阶滤波器，代入$\omega_c$和$x[n]=\cos(\omega_0n)$，得：

$$y_s[n] = \frac{2\cos(\omega_0) - 2cos(\omega_c)\cos(\omega_0) + y_s[n-2](1-2cos(\omega_c)+cos^2(\omega_c))}{1-2cos(\omega_c)+cos^2(\omega_c)}$$

因为是稳态输出，所以$y_s[n]=y_s[n-2]$，代入上式，得：

$$y_s[n] = \frac{2\cos(\omega_0) - 2cos(\omega_c)\cos(\omega_0)}{1-2cos(\omega_c)+cos^2(\omega_c)}$$

因此，当激励为$x[n] = \cos(\omega_0n)$时，一阶带通滤波器的稳态输出为$\frac{2\cos(\omega_0) - 2cos(\omega_c)\cos(\omega_0)}{1-2cos(\omega_c)+cos^2(\omega_c)}$。