简述装载问题回溯算法的求解步骤，分析该算法的时间复杂度并给出一个具体 的算例

对于您的问题，我可以为您简要介绍一下装载问题回溯算法的求解步骤。首先，我们需要将货物按照重量从大到小排序，然后从第一个货物开始装载。接着，我们要判断当前船是否可以装载下一件货物，即判断当前船的剩余载荷量是否大于等于下一件货物的重量。如果可以，就将下一件货物装上船，接着继续判断下一件货物能否装载，直到所有货物都被装上船。如果当前船无法装载下一件货物，就将船送回岸边，重新开辟一条新船继续装载货物。如果货物已经全部装载完成，就输出所用船数及每条船所装载的货物重量。

该算法的时间复杂度为 O(2^n)，其中 n 为货物数量。因为在每个节点上，我们都需要对应“不装载”和“装载”两种选择，所以产生了指数级数量的子集。

至于算例，假设有 5 个货物，它们的重量分别为 2、3、4、5 和 9，船的最大载荷为 10。按照上述算法，我们可以得到两个船，第一艘船装载重量为 9、5、2，第二艘船装载重量为 4、3。

相关问题

简述装载问题的分支界限算法步骤，分析该算法的时间复杂度并给出一个具体的算例。

装载问题是一类经典的NP完全问题，分支界限算法是一种针对该问题的优秀求解方法。其基本思想是：通过不断的分支和剪枝，将搜索空间缩小到最优解所在的区域，以提高搜索效率。

分支界限算法的步骤如下：
1. 初始化：设定搜索树根节点为初始状态，将当前状态加入到优先队列中。
2. 扩展节点：从优先队列中取出一个节点进行扩展，生成该节点的所有子节点，并计算它们的上界和下界。
3. 判断是否达到终止条件：如果已经找到了最优解，则终止搜索；否则，将所有子节点加入到优先队列中。
4. 重复步骤2~3，直到找到最优解或者队列为空。

分支界限算法的时间复杂度取决于搜索树的大小，因此随着数据规模的增加，时间复杂度呈指数级增长，效率较低。但是，该算法的优点在于能够保证找到最优解。

下面给出一个具体算例：假设有一个装载问题，要求将若干物品装入船中，船的载重量为C，物品的重量分别为w1、w2、w3、w4、w5、w6，如何才能使船的利用率最大？

我们先对物品按照重量从大到小排序，得到w6、w5、w4、w3、w2、w1。
初始状态下，船的空间为C，当前利用率为0。
第一步，将w6放入船中，船的剩余空间为C-w6，当前利用率为w6/C。
第二步，将w5放入船中，船的剩余空间为C-w6-w5，当前利用率为(w6+w5)/C。
第三步，将w4放入船中，船的剩余空间为C-w6-w5-w4，当前利用率为(w6+w5+w4)/C。
第四步，将w3放入船中，船的剩余空间为C-w6-w5-w4-w3，当前利用率为(w6+w5+w4+w3)/C。
第五步，由于w2的重量已经超过了剩余空间，因此不可能再放入船中，我们需要回溯到第四步，将w3取出。
第六步，将w2放入船中，船的剩余空间为C-w6-w5-w4-w2，当前利用率为(w6+w5+w4+w2)/C。
第七步，由于w1的重量已经超过了剩余空间，因此不可能再放入船中，我们需要回溯到第六步，将w2取出。
第八步，将w1放入船中，船的剩余空间为C-w6-w5-w4-w1，当前利用率为(w6+w5+w4+w1)/C。
通过该算例的演示，我们可以看出，分支界限算法能够高效地解决装载问题，找到最优解。

简述最大团问题的分支界限算法求解步骤，分析该算法的时间复杂度并给出一 个具体的算例

最大团问题是指在一个无向图中找到一个最大的完全子图，即该子图中任意两个节点之间都有边相连。分支界限算法是一种常用于求解最大团问题的方法，其求解步骤如下：

1. 初始化。将图中所有节点标记为未被访问过的状态，将目前已经找到的最大团大小 $max\_clique$ 置为 $0$。

2. 选择一个未被访问过的节点 $v$，并将其标记为已访问。

3. 将 $v$ 加入当前候选团 $Q$ 中，并计算 $Q$ 的最大团大小 $clique\_size$。

4. 如果 $clique\_size > max\_clique$，则更新 $max\_clique$。

5. 对于 $v$ 的每个未被访问过的邻居 $w$，将其加入 $Q$ 中，并计算新的 $clique\_size$。如果 $clique\_size$ 已经小于等于 $max\_clique$，则不需要继续下去，因为添加 $w$ 不可能找到更大的团。

6. 根据 $Q$ 中节点的顺序进行分支。对于 $Q$ 中的第一个节点 $u$，如果 $u$ 的邻居中包含 $Q$ 中的其他节点，则将 $u$ 的邻居中不在 $Q$ 中的节点加入 $Q$ 中，并计算新的 $clique\_size$。如果 $clique\_size$ 已经小于等于 $max\_clique$，则剪枝。

7. 对于 $Q$ 中的其他节点，按照 6 中所述的方式进行分支和剪枝。

8. 如果 $Q$ 中没有节点可以再被加入，算法结束，返回 $max\_clique$。

该算法的时间复杂度取决于分支过程中的搜索深度和每个节点的邻居数量。在最坏情况下，即图为一个完全图时，时间复杂度为 $O(2^n)$，其中 $n$ 表示节点数量。但由于算法中采用了优化措施，如节点排序和剪枝等，因此实际运行时间可能会更短。

以下是一个具体的算例：

考虑如下无向图：

1 -- 2 -- 3
|         |
4 -- 5 -- 6

我们使用分支界限算法求解该图的最大团。

1. 初始化。将所有节点标记为未被访问过的状态，将 $max\_clique$ 置为 $0$。

2. 选择 $1$ 号节点，并将其标记为已访问。

3. 将 $1$ 号节点加入当前候选团 $Q$ 中，并计算 $Q$ 的最大团大小为 $1$。

4. 更新 $max\_clique$ 为 $1$。

5. 将 $2$ 号节点加入 $Q$ 中，此时 $Q$ 中的节点为 $1, 2$，并计算 $Q$ 的最大团大小为 $2$。由于 $2$ 号节点的邻居中只有 $1$ 号节点未被访问过，因此将 $1$ 号节点加入 $Q$ 中，并计算新的 $Q$ 的最大团大小为 $2$。

6. 根据 $Q$ 中节点的顺序进行分支。首先对 $1$ 号节点进行分支，将 $3$ 号节点加入 $Q$ 中，此时 $Q$ 中的节点为 $1, 2, 3$，并计算 $Q$ 的最大团大小为 $3$。由于 $3$ 号节点的邻居中只有 $2$ 号节点未被访问过，因此将 $2$ 号节点加入 $Q$ 中，并计算新的 $Q$ 的最大团大小为 $2$。此时 $clique\_size \leq max\_clique$，进行剪枝。

7. 对于 $Q$ 中的其他节点，按照相同的方式进行分支和剪枝。由于 $2$ 号节点已经被访问过，因此只需要对 $3$ 号节点进行分支。将 $6$ 号节点加入 $Q$ 中，此时 $Q$ 中的节点为 $1, 3, 6$，并计算 $Q$ 的最大团大小为 $2$。由于 $6$ 号节点的邻居中只有 $5$ 号节点未被访问过，因此将 $5$ 号节点加入 $Q$ 中，并计算新的 $Q$ 的最大团大小为 $2$。此时 $clique\_size \leq max\_clique$，进行剪枝。

8. $Q$ 中没有节点可以再被加入，算法结束，返回 $max\_clique=2$。最大团为 $2, 3$ 或 $5, 6$。