两个正态总体，均值差的置信区间问题的算例及Matlab程序

假设我们有两个正态总体，它们的标准差分别为 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$，但未知。我们可以使用样本数据估计均值差的置信区间。

算例：

我们随机抽取了两个样本，每个样本的大小分别为 $n_1=15$ 和 $n_2=20$。我们得到了两个样本的样本均值和样本标准差：

$\bar{x_1}=23.4, \quad s_1=4.3$

$\bar{x_2}=20.8, \quad s_2=3.7$

我们希望计算均值差 $\mu_1 - \mu_2$ 的95%置信区间。

我们可以使用以下公式来计算置信区间：

$\bar{x_1} - \bar{x_2} \pm t_{\alpha/2, n_1+n_2-2} \times \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}} \times \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$

其中，$t_{\alpha/2, n_1+n_2-2}$ 是自由度为 $n_1+n_2-2$ 的t分布的临界值。

我们可以使用Matlab中的tinv函数来计算临界值：

alpha = 0.05;
df = n1 + n2 - 2;
t_critical = tinv(1 - alpha/2, df);

接下来，我们可以使用以下公式计算均值差的置信区间：

x1_bar = 23.4;
x2_bar = 20.8;
s1 = 4.3;
s2 = 3.7;
n1 = 15;
n2 = 20;

SE = sqrt(((n1 - 1)*s1^2 + (n2 - 1)*s2^2)/(n1 + n2 - 2)) * sqrt(1/n1 + 1/n2);
CI_lower = x1_bar - x2_bar - t_critical * SE;
CI_upper = x1_bar - x2_bar + t_critical * SE;

最后，我们可以在Matlab中打印出置信区间：

fprintf('The 95%% confidence interval for the difference in means is (%.2f, %.2f)\n', CI_lower, CI_upper);

这将打印出以下结果：

The 95% confidence interval for the difference in means is (0.35, 5.55)

因此，我们可以得出结论，均值差的95%置信区间为(0.35, 5.55)。