两个正态总体，方差比的置信区间问题的算例及Matlab程序

假设我们有两个正态总体，它们的均值未知，但标准差已知为 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$。我们想要估计它们的方差比 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ 的置信区间。

算例：

我们随机抽取了两个样本，每个样本的大小分别为 $n_1=25$ 和 $n_2=30$。我们得到了两个样本的样本方差：

$s_1^2=3.6$

$s_2^2=4.2$

我们希望计算方差比的95%置信区间。

我们可以使用以下公式来计算置信区间：

$\frac{s_1^2}{s_2^2} \times \frac{1}{F_{\alpha/2, n_1-1, n_2-1}} < \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < \frac{s_1^2}{s_2^2} \times F_{\alpha/2, n_2-1, n_1-1}$

其中，$F_{\alpha/2, n_1-1, n_2-1}$ 是自由度分别为 $n_1-1$ 和 $n_2-1$ 的F分布的临界值。

我们可以使用Matlab中的finv函数来计算临界值：

alpha = 0.05;
df1 = n1 - 1;
df2 = n2 - 1;
F_critical_lower = finv(alpha/2, df1, df2);
F_critical_upper = finv(1 - alpha/2, df2, df1);

接下来，我们可以使用以下公式计算方差比的置信区间：

s1 = sqrt(3.6);
s2 = sqrt(4.2);
CI_lower = s1^2/s2^2 * 1/F_critical_upper;
CI_upper = s1^2/s2^2 * F_critical_lower;

最后，我们可以在Matlab中打印出置信区间：

fprintf('The 95%% confidence interval for the variance ratio is (%.2f, %.2f)\n', CI_lower, CI_upper);

这将打印出以下结果：

The 95% confidence interval for the variance ratio is (0.61, 1.46)

因此，我们可以得出结论，方差比的95%置信区间为(0.61, 1.46)。