x(n)=(n-3)[u(n+4)-u(n-a)],绘图验证如下系统是否为线性时不变系统: y(n)+0.35y(n-1)-0.8 y(n-2) =2.5x(n)-1.8x(n-1), y(-1)=0, y(-2)=0
时间: 2023-05-29 19:01:30 浏览: 129
为验证系统是否为线性时不变系统,需要进行两个步骤:
1. 验证系统是否满足线性性质。
2. 验证系统是否满足时不变性质。
先来验证系统的线性性质。
假设输入信号为 x1(n) 和 x2(n),输出信号为 y1(n) 和 y2(n)。则有:
x1(n)=(n-3)[u(n 4)-u(n-a)]
x2(n)=(n-3)[u(n 4)-u(n-a)]
y1(n) 0.35y1(n-1)-0.8 y1(n-2) =2.5x1(n)-1.8x1(n-1), y1(-1)=0, y1(-2)=0
y2(n) 0.35y2(n-1)-0.8 y2(n-2) =2.5x2(n)-1.8x2(n-1), y2(-1)=0, y2(-2)=0
现在将输入信号线性组合,即 x(n) = ax1(n) + bx2(n)。
则有:
x(n) = ax1(n) + bx2(n)
= a(n-3)[u(n 4)-u(n-a)] + b(n-3)[u(n 4)-u(n-a)]
= (a+b)(n-3)[u(n 4)-u(n-a)]
将 x(n) 代入系统中,得到输出信号 y(n):
y(n) 0.35y(n-1)-0.8 y(n-2) =2.5x(n)-1.8x(n-1), y(-1)=0, y(-2)=0
0.35y(n-1)-0.8 y(n-2) = 2.5(a+b)(n-3)[u(n 4)-u(n-a)]-1.8(a+b)(n-4)[u(n 4)-u(n-a)]
对 y(n) 同样进行线性组合,得到:
ay1(n) + by2(n) = ay1(n) + by2(n)
因此,系统满足线性性质。
接下来验证系统的时不变性质。
假设输入信号为 x(n),输出信号为 y(n)。现在将输入信号延时 k 个单位,得到输入信号为 x(n-k)。系统的输出信号为 y(n-k)。将 x(n-k) 代入系统中,得到输出信号 y(n-k),与原信号 y(n) 的关系为:
y(n-k) 0.35y(n-k-1)-0.8 y(n-k-2) =2.5x(n-k)-1.8x(n-k-1), y(-1)=0, y(-2)=0
两个式子并不相同,因此系统不满足时不变性质。
综上,该系统是线性但不是时不变系统。