If (xn)n is bounded and diverges, then there are two subsequences of (xn)n that converge to different limits.这句话对不对，对的话如何证明

这句话是正确的。

证明如下：

设(xn)是一个有界但发散的数列，那么(xn)必定存在一个极限点y。否则，由于(xn)有界，它必定存在一个聚点，而由于(xn)发散，该聚点不能是极限点。这与(xn)不存在极限点的假设矛盾。

由于(xn)有界，因此必定存在一个收敛子序列(xnk)。设其极限为x。

现在我们要构造另一个收敛子序列(xnk')。由于y是(xn)的一个极限点，因此存在一个子序列(xnl)满足|xnl - y| < 1。显然，这个子序列也是有界的，因此存在一个收敛子序列(xnlk')。设其极限为z。

现在我们来证明x ≠ z。假设x = z，则(xnlk')和(xnk)都收敛于x，因此(xnlk')和(xnk)的组合序列(xnk1', xn1, xnk2', xn2, ...) 也收敛于x。但是，这个组合序列可以构造一个发散的子序列。具体地，我们可以选择所有下标为偶数的元素xk2n，这个子序列显然发散。这与(xn)不发散的假设矛盾，因此x ≠ z。

因此，我们成功地构造了两个不同的收敛子序列，它们的极限分别为x和z。