Compute Hessian matrix

好的，下面是计算 Hessian 矩阵的代码：

H = sd_images' * sd_images;

这行代码使用最陡峭面的图像 `sd_images` 来计算 Hessian 矩阵 `H`。具体来说，我们将 `sd_images` 的转置乘以 `sd_images` 本身，得到一个 $6 \times 6$ 的 Hessian 矩阵 `H`，其中每个元素都代表两个参数的偏导数之积。

相关问题

用matlab进行如下操作：Generate a candidate draw θ ∗ from the normal proposal distribution θ ˜∗ = θ ˜(s−1) + z, z ∼ N (0, Σ) (26) where Σ a diagonal matrix, whose diagonal elements are the diagonal elements of the inverse of the negative Hessian matrix of ˜p(θ) evaluated at θ (0), i.e., Σ = diag  − ∂p˜(θ) 2 ∂θ∂θ′ θ=θ0 ! −1  

以下是 Matlab 代码实现：

假设当前状态为 theta，先计算出 negative Hessian matrix H：

H = -hessian( theta, p_tilde );

其中 hessian 函数为自定义函数，用于计算 Hessian 矩阵，具体代码如下：

function H = hessian( x, f )
% HESSIAN Computes the Hessian matrix of a function f(x).
% Usage:
%   H = hessian( x, f )
% Inputs:
%   x - n x 1 column vector, point where to compute the Hessian matrix
%   f - function handle, f(x) should return a scalar
% Outputs:
%   H - n x n matrix, the Hessian matrix of f(x) at point x

n = length(x);
H = zeros(n,n);

for i=1:n
    for j=1:n
        % Compute second-order partial derivatives numerically
        fxx = @(x)f([x(1:i-1);x(i)+eps;x(i+1:j-1);x(j)+eps;x(j+1:n)]);
        fxy = @(x)f([x(1:i-1);x(i)+eps;x(i+1:j-1);x(j)+eps;x(j+1:n)]);
        fyx = @(x)f([x(1:i-1);x(i)+eps;x(i+1:j-1);x(j)+eps;x(j+1:n)]);
        fyy = @(x)f([x(1:i-1);x(i)+eps;x(i+1:j-1);x(j)+eps;x(j+1:n)]);
        H(i,j) = (fxx(x)-fxy(x)-fyx(x)+fyy(x)) / (4*eps^2);
    end
end

end

计算出 H 后，再计算出 Σ：

Sigma = diag( diag( inv(H) ) );

然后生成候选状态：

z = randn( size(theta) );
theta_star = theta + Sigma*z;

其中 randn 函数用于生成服从标准正态分布的随机数。

MATLAB代码在给定的基于特征的图像对齐的仿射变换A的初始估计的情况下，您将使用逆组合方法跟踪下一帧图像。您将使用6个参数p =（p1，p2，p3，p4，p5，p6）对仿射变换进行参数化，输入：灰度模板图像模板template和目标图像target;3×3仿射变换A的初始化，输出：A_refined是基于逆组合图像对齐的精细化仿射变换。您将使用逆组合图像对齐来精细化仿射变换，即A→A_refined。您可以通过可视化误差图来验证算法1.从输入 A 初始化 p = p0。2：计算模板图像的梯度 3：计算雅可比矩阵4： 计算最陡峭的体面的图像5：计算6×6 Hessian 将目标扭曲到模板域，计算错误图像，返回A_refined .

好的，这是一个比较技术性的问题。以下是MATLAB代码的实现，用于基于逆组合方法跟踪下一帧图像的精细化仿射变换：

function A_refined = inverse_compositional(template, target, A)
% Initialize parameters
p = [0 0 0 0 0 0]'; % 6 parameters for affine transformation
dp = [Inf Inf Inf Inf Inf Inf]'; % Initialize delta p

% Calculate gradient of template image
[Ix, Iy] = gradient(template);

% Compute Jacobian
J = [Ix(:) Iy(:) repmat([0 0 1], numel(template), 1)];

% Compute steepest descent images
sd_images = J * [1 0 0 0 1 0; 0 1 0 0 0 1];

% Compute Hessian matrix
H = sd_images' * sd_images;

% Loop until convergence
while norm(dp) > 0.01
    % Warp target image using current affine transformation
    warped = warp_image(target, A);
    
    % Compute error image
    error_image = template - warped;
    
    % Compute gradient of error image
    error_grad = [Ix(:) .* error_image(:) Iy(:) .* error_image(:)];
    
    % Compute steepest descent images
    sd_images = J * [1 0 0 0 1 0; 0 1 0 0 0 1];
    
    % Compute Hessian matrix
    H = sd_images' * sd_images;
    
    % Compute delta p
    dp = H \ (sd_images' * error_grad);
    
    % Update parameters
    p = p + dp;
    
    % Update affine transformation matrix
    A = [1+p(1) p(3) p(5); p(2) 1+p(4) p(6); 0 0 1];
end

% Output refined affine transformation matrix
A_refined = A;
end

这个函数接受三个输入参数：灰度模板图像 `template`、目标图像 `target` 和 3×3 仿射变换矩阵 `A` 的初始化。它使用逆组合图像对齐算法来精细化仿射变换，即将 `A` 转化为 `A_refined`。

该函数的主体部分是一个循环，直到参数 `dp` 的范数小于阈值 0.01 时退出循环。在每次迭代中，它会执行以下步骤：

1. 将目标图像 `target` 扭曲到模板域，得到变换后的图像 `warped`。
2. 计算误差图像 `error_image`，即模板图像 `template` 减去变换后的图像 `warped`。
3. 计算误差图像的梯度 `error_grad`。
4. 计算雅可比矩阵 `J`。
5. 计算最陡峭的体面的图像，并将其存储为矩阵 `sd_images`。
6. 计算 Hessian 矩阵 `H`。
7. 计算参数增量 `dp`。
8. 更新参数 `p`。
9. 更新仿射变换矩阵 `A`。

在循环结束时，输出精细化的仿射变换矩阵 `A_refined`。

您可以通过将模板图像和目标图像传递给该函数，并可视化输出的 `A_refined`，来验证该算法的正确性。