基于两个节点的复化高斯型求积公式
时间: 2023-11-14 19:05:48 浏览: 42
基于两个节点的复化高斯型求积公式可以表示为:
$$\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mw_if(u_i+v_j)$$
其中,$u_i$和$v_j$分别是第$i$个和第$j$个节点的加权值,$w_i$和$v_j$分别是第$i$个和第$j$个节点的加权系数。具体来说,我们可以将区间$[a,b]$等分成$m$个小区间,然后在每个小区间内选择一个节点$u_i$,并且将每个小区间内的节点$u_i$和$v_j$组合成一个复合节点$u_i+v_j$。然后,选择合适的加权系数$w_i$和$v_j$,使得上式满足求积精度要求。
需要注意的是,节点的选择和加权系数的确定需要根据被积函数的性质进行优化,以获得更高的求积精度。
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两个节点复化高斯型求积公式
复化高斯型求积公式是一种用于数值积分的方法,可以用来计算一定区间内的函数积分。对于两个节点的情况,其复化高斯型求积公式为:
$$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{2}\left(w_1f\left(\frac{b-a}{2}x_1+\frac{b+a}{2}\right)+w_2f\left(\frac{b-a}{2}x_2+\frac{b+a}{2}\right)\right)$$
其中 $x_1=-\frac{1}{\sqrt{3}},\ x_2=\frac{1}{\sqrt{3}},\ w_1=w_2=1$ 是高斯型求积公式的节点和权重。该公式的精度为 $\mathcal{O}(h^3)$,其中 $h=\frac{b-a}{2}$ 是每个子区间的长度。
两个节点复化高斯型求积公式matlab
以下是两个节点复化高斯型求积公式的 MATLAB 代码:
1. 对于区间 [a,b],使用两个节点的复化高斯型求积公式:
```matlab
function I = Gauss2(f,a,b)
% Gauss2: 2-node Gauss quadrature
% I = Gauss2(f,a,b): 2-node Gauss quadrature of f(x) over [a,b]
% input:
% f = input funtion
% a,b = integration limits
% output:
% I = integral of f(x) over [a,b]
x = [-0.5773502692, 0.5773502692]; % nodes
w = [1.0, 1.0]; % weights
I = (b-a)/2 * sum(w .* f((b-a)/2 * x + (b+a)/2));
```
2. 对于区间 [a,b],使用两个节点的复化高斯型求积公式,将区间等分为 n 个子区间,每个子区间使用两个节点的复化高斯型求积公式:
```matlab
function I = Gauss2c(f,a,b,n)
% Gauss2c: Composite 2-node Gauss quadrature
% I = Gauss2c(f,a,b,n): Composite 2-node Gauss quadrature of f(x) over [a,b], using n subintervals
% input:
% f = input funtion
% a,b = integration limits
% n = number of subintervals
% output:
% I = integral of f(x) over [a,b]
x = [-0.5773502692, 0.5773502692]; % nodes
w = [1.0, 1.0]; % weights
h = (b-a)/n; % subinterval width
I = 0;
for i = 1:n
I = I + sum(w .* f((h/2) * x + (a+(i-0.5)*h)));
end
I = (b-a)/(2*n) * I;
```