质量为m，半径为R的均质圆环，对于圆心与圆面垂直轴的转动惯量为

对于圆环的转动惯量可以使用Steiner定理来计算。Steiner定理指出，对于一个物体，围绕通过其质心的轴的转动惯量等于围绕平行于该轴且距离为$d$的轴的转动惯量加上$m\cdot d^2$，其中$m$为物体的质量，$d$为两个轴之间的距离。

对于一个半径为$R$、质量为$m$的均质圆环，其转动惯量可以分解为两个部分：一个是围绕圆心垂直于圆面的轴的转动惯量$I_z$；另一个是围绕圆心水平于圆面的轴的转动惯量$I_{xy}$。因此，我们可以使用Steiner定理计算$I_z$。

首先，圆环的质心位于圆心，因此我们可以将该圆环看作一个质量为$m$、半径为$R$的点质量，围绕圆心旋转的转动惯量为$mR^2$。然后，使用Steiner定理将该转动惯量转化为围绕圆心垂直于圆面的轴的转动惯量：

$$I_z = mR^2 + m(\frac{R}{\sqrt{2}})^2 = mR^2 + \frac{1}{2}mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$$

因此，质量为$m$、半径为$R$的均质圆环，对于圆心与圆面垂直轴的转动惯量为$\frac{3}{2}mR^2$。

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质量为m、半径为R的圆环对中心垂直轴得转动惯量为 ，如果环上有一个人长度为x的缺

如果圆环上有一个缺口，那么它的质心与圆心不重合，因此需要重新计算圆环的转动惯量。我们可以将圆环看成两个部分：内圆和外圆。

内圆的半径为 $R-x$，外圆的半径为 $R$，则内圆的转动惯量为：

$$I_1 = \frac{1}{2}m(R-x)^2$$

外圆的转动惯量为：

$$I_2 = \frac{1}{2}mR^2$$

根据平行轴定理，圆环的转动惯量为：

$$I = I_1 + I_2 + md^2$$

其中 $d$ 是圆环质心与圆心的距离，可以用勾股定理求得：

$$d = \sqrt{x^2 + R^2 - 2Rx}$$

将 $I_1$、$I_2$ 和 $d$ 代入上式，得到圆环加上缺口后的转动惯量：

$$I = \frac{1}{2}m(2R^2 - 2Rx + x^2) + m(x^2 + R^2 - 2Rx) = m(2R^2 + x^2)$$

因此，圆环加上缺口后的转动惯量为 $I = m(2R^2 + x^2)$。

质量为 m、半径为 R 的圆环对中心垂直轴的转动惯量为_____,如果环上有一个长度为x 的缺口其转动惯量为_________

圆环对中心垂直轴的转动惯量公式为：$I=\frac{1}{2}mR^2$。

如果环上有一个长度为$\Delta x$的缺口，可以将圆环分成两个部分，一个是完整的圆环，另一个是缺口部分。完整的圆环的转动惯量为$I_1=\frac{1}{2}mR^2$，缺口部分的转动惯量为$I_2=\frac{1}{2}m(\frac{R-\Delta x}{2})^2+\frac{1}{2}m(\frac{R+\Delta x}{2})^2=\frac{1}{2}mR^2-\frac{1}{4}m\Delta x^2$。

因此，圆环对中心垂直轴的转动惯量为 $I=I_1-I_2=\frac{1}{4}m\Delta x^2$。