考虑优化问题 min (x,y)∈R 2 f(x) = (x − 1) 2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.‘’
时间: 2024-06-05 20:11:48 浏览: 6
首先,根据约束条件,我们可以得到拉格朗日函数为:
$L(x,y,\lambda,\mu)=f(x)+\lambda h(x)+\mu g(x)$
其中,$\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子。
接下来,我们可以计算出拉格朗日函数的偏导数:
$$\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x}=2(x-1)-\lambda+\mu=0\\
\frac{\partial L}{\partial y}=1+\lambda+\mu=0\\
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=y-x-1=0\\
\frac{\partial L}{\partial \mu}=x+y-2\leq 0,\mu\leq 0,\mu(x+y-2)=0
\end{cases}$$
由此得到的 KKT 条件为:
$$\begin{cases}
2(x-1)-\lambda+\mu=0\\
1+\lambda+\mu=0\\
y-x-1=0\\
\mu(x+y-2)=0\\
x+y-2\leq 0\\
\mu\leq 0
\end{cases}$$
接下来,我们需要分别讨论以下三种情况:
情况一:$\mu=0$
此时,根据 KKT 条件可得:
$$\begin{cases}
2(x-1)-\lambda=0\\
1+\lambda=0\\
y-x-1=0\\
x+y-2\leq 0
\end{cases}$$
解得:
$$\begin{cases}
x=1\\
y=2\\
\lambda=-1\\
\mu=0
\end{cases}$$
此时,$x=1$,$y=2$ 且满足约束条件和 KKT 条件,因此 $(x,y)=(1,2)$ 是一个可能的局部极小值点。
接下来,我们需要验证 $(x,y)=(1,2)$ 是否为局部极小值点。
我们可以计算出二阶条件:
$$\begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 L}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y}\\
\frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 L}{\partial y^2}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}$$
由于二阶条件矩阵是正定的,因此 $(x,y)=(1,2)$ 是一个局部极小值点。
情况二:$\mu<0$ 且 $x+y-2=0$
此时,根据 KKT 条件可得:
$$\begin{cases}
2(x-1)-\lambda+\mu=0\\
1+\lambda+\mu=0\\
y-x-1=0\\
\mu<0\\
x+y-2=0
\end{cases}$$
解得:
$$\begin{cases}
x=\frac{3}{2}\\
y=\frac{1}{2}\\
\lambda=-\frac{5}{2}\\
\mu=-\frac{3}{2}
\end{cases}$$
但是,此时 $(x,y)=(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$ 不满足约束条件 $x+y-2\leq 0$,因此 $(x,y)=(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$ 不是一个可行解。
情况三:$\mu<0$ 且 $x+y-2<0$
此时,根据 KKT 条件可得:
$$\begin{cases}
2(x-1)-\lambda+\mu=0\\
1+\lambda+\mu=0\\
y-x-1=0\\
\mu<0\\
x+y-2<0
\end{cases}$$
解得:
$$\begin{cases}
x=\frac{3}{2}-\frac{\mu}{4}\\
y=\frac{1}{2}+\frac{3\mu}{4}\\
\lambda=-\frac{5}{2}-\frac{5\mu}{4}\\
\mu<0
\end{cases}$$
但是,此时 $(x,y)=(\frac{3}{2}-\frac{\mu}{4},\frac{1}{2}+\frac{3\mu}{4})$ 不满足约束条件 $x+y-2\leq 0$,因此 $(x,y)=(\frac{3}{2}-\frac{\mu}{4},\frac{1}{2}+\frac{3\mu}{4})$ 不是一个可行解。
综上所述,$(x,y)=(1,2)$ 是一个可能的局部极小值点,并且经过二阶条件验证,$(x,y)=(1,2)$ 确实是一个局部极小值点。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![tar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083646.png)
![bin](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083646.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)