设X与Y是两个一阶矩存在的随机变量, 则“X与Y独立”是“E(X|Y)=E(X)” 的 条件.

这个结论是不正确的。事实上，即使X与Y独立，也不能保证E(X|Y)=E(X)。反例如下：

假设X和Y均服从标准正态分布N(0,1)，并令Z=X+Y。我们有E(X)=E(Y)=0和Var(X)=Var(Y)=1。

因为X和Y独立，我们有E(X|Y)=E(X)=0。此外，根据标准正态分布的性质，E(Z|Y)=E(X+Y|Y)=E(X|Y)+E(Y|Y)=E(X)+Y= Y。因此，E(X|Y)=E(Z|Y)≠E(Z)=0。

因此，即使X和Y独立，E(X|Y)=E(X)也不一定成立。

相关问题

设X与Y是两个⼀阶矩存在的随机变量, 则“X与Y独⽴”是“E(X|Y)=E(X)” 的 条件

首先，我们知道两个随机变量X和Y独立的充分必要条件是它们的联合概率分布等于它们的边缘概率分布的乘积，即P(X,Y) = P(X)P(Y)。

现在，我们来考虑条件E(X|Y) = E(X)。这意味着在给定Y的条件下，X的期望值等于X的边缘期望值。也就是说，Y不影响X的期望值。

如果X和Y独立，那么它们的联合概率分布等于它们的边缘概率分布的乘积，即P(X,Y) = P(X)P(Y)。因此，可以得到：

E(X|Y) = ∫xf(x|y)dx
= ∫x[P(X=x|Y=y)]dx
= ∑x(xP(X=x|Y=y))
= ∑xE(X=x)P(X=x|Y=y)
= E(X)

这里，我们使用了条件概率的定义和全期望公式。

因此，如果X和Y独立，则“X与Y独立”是“E(X|Y) = E(X)”的条件。反之亦然，如果“X与Y独立”是“E(X|Y) = E(X)”的条件，则X和Y独立。

设X与Y是两个一阶矩存在的随机变量, 则“X与Y独立”是“E(X|Y)=E(X)” 的 条件. A.充分必要 B.非充分非必要 C.充分非必要 D.必要非充分

首先，我们来看一下独立的定义：如果对于任意的x和y，P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y相互独立。

接着，我们来证明本题的答案是A，即“X与Y独立”是“E(X|Y)=E(X)” 的充分必要条件。

证明：

充分性：如果X与Y独立，那么有：

E(X|Y) = ∑x P(X=x|Y)·x

由于X与Y独立，因此：

P(X=x|Y) = P(X=x)

所以，E(X|Y) = ∑x P(X=x|Y)·x = ∑x P(X=x)·x = E(X)

因此，充分性得证。

必要性：如果E(X|Y)=E(X)，那么有：

E(X|Y) = ∑x P(X=x|Y)·x

E(X) = ∑x P(X=x)·x

由于题目中已经说明E(X)和E(Y)都存在，因此可以对E(X|Y)和E(X)分别取期望：

E[E(X|Y)] = E(X)

E[∑x P(X=x|Y)·x] = ∑x P(X=x)·x

由于E(X|Y)是关于Y的函数，因此可以将它看作一个常数：

E[∑x P(X=x|Y)·x] = ∑x P(X=x)·E(X|Y=x)

再将E(X|Y=x)代入，得到：

E[∑x P(X=x|Y)·x] = ∑x P(X=x)·∑y P(Y=y|X=x)·x

由于X与Y独立，因此：

P(Y=y|X=x) = P(Y=y)

所以，上式可以进一步化简为：

E[∑x P(X=x|Y)·x] = ∑x P(X=x)·∑y P(Y=y)·x = E(X)·E(Y)

因此，有E(X)·E(Y) = E(X)。如果E(X)不等于0，则可以消去E(X)，得到E(Y)=1，即Y是一个常数。因此，X与Y独立。

综上所述，我们证明了“X与Y独立”是“E(X|Y)=E(X)” 的充分必要条件，因此答案是A。