在LTI系统中，如何通过微分方程区分并求解零输入响应和零状态响应？请结合具体微分方程实例说明。

在研究线性时不变（LTI）系统时，零输入响应（ZIR）和零状态响应（ZSR）是分析系统全响应的两个重要组成部分。零输入响应是指当系统的外部输入为零时，系统的响应仅由初始状态决定。零状态响应则是指在初始状态为零的情况下，系统对外部输入的响应。两者相加即为系统的全响应。

参考资源链接：[信号与系统分析：自由响应与强迫响应](https://wenku.csdn.net/doc/562p7nkxd2?spm=1055.2569.3001.10343)

为了求解这两个响应，我们通常需要首先根据系统的微分方程建立数学模型。以一个典型的二阶线性常微分方程为例：
\[ my''(t) + cy'(t) + ky(t) = f(t) \]
其中 \( m, c, k \) 是系统的质量、阻尼和刚度系数，\( f(t) \) 是外部输入函数。

若要求解零输入响应，即假设 \( f(t) = 0 \)，微分方程简化为：
\[ my''(t) + cy'(t) + ky(t) = 0 \]
此时，我们只关心初始条件，比如初始位移 \( y(0) \) 和初始速度 \( y'(0) \)。解这个齐次方程可以得到系统的自由振动，也就是固有响应，这通常涉及到求解特征方程并找到齐次解（自由响应），可能包括正弦和余弦项。

对于零状态响应，我们考虑的是 \( y(0) = 0 \) 和 \( y'(0) = 0 \)，即系统初始处于静止状态。此时，我们关注的是外部输入 \( f(t) \) 对系统的强制影响。求解零状态响应通常需要使用系统的冲激响应 \( h(t) \) 或阶跃响应 \( u(t) \) 通过卷积积分来求解：
\[ y_{zs}(t) = \int_{0}^{t} h(t-\tau)f(\tau) d\tau \]
其中，\( h(t) \) 是冲激响应，可以通过求解微分方程 \( my''(t) + cy'(t) + ky(t) = \delta(t) \) 得到，其中 \( \delta(t) \) 是狄拉克冲激函数。

通过解以上两个方程，我们可以得到系统的全响应。在实际应用中，比如在控制系统或信号处理领域，这种分析方法至关重要。它不仅有助于理解系统的动态行为，还能在设计时预测系统对于特定输入的反应。

以上过程涉及到的理论和技术细节都可以在《信号与系统分析：自由响应与强迫响应》一书中找到详细讨论。这本书不仅为读者提供了一个清晰的理论框架，还通过实例来说明如何具体地求解这些响应，因此，对于那些希望深入理解并应用这些概念的工程师或学者来说，是一份宝贵的资源。

参考资源链接：[信号与系统分析：自由响应与强迫响应](https://wenku.csdn.net/doc/562p7nkxd2?spm=1055.2569.3001.10343)