动态规划求解矩阵链乘法
时间: 2023-08-14 14:12:27 浏览: 45
矩阵链乘法是一个经典的动态规划问题。它的目标是通过最少的乘法次数来计算一系列矩阵相乘的结果。
假设有 n 个矩阵 A1, A2, ..., An,它们的维度分别是 d0×d1, d1×d2, ..., dn-1×dn。矩阵链乘法的目标是找到一种括号化方式,使得最终计算的乘法次数最少。
我们可以定义一个二维数组 dp,其中 dp[i][j] 表示从矩阵 Ai 到 Aj 的最少乘法次数。初始时,所有的 dp[i][i] 都为 0,因为单个矩阵相乘不需要乘法操作。
然后,我们可以使用一个循环来填充 dp 数组。外层循环 i 从 2 到 n,内层循环 j 从 i 到 n。在每个循环中,我们可以通过枚举 k 的方式来计算 dp[i][j],其中 i <= k < j。具体的计算公式如下:
dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + di-1×dk×dj),其中 i <= k < j
最后,dp[1][n] 就是所求的最少乘法次数。
除了计算最少乘法次数,我们还可以通过记录 k 的值,来得到最优括号化方式。具体的做法是,我们可以定义一个二维数组 split,其中 split[i][j] 表示从矩阵 Ai 到 Aj 的最优括号化方式中,第一个乘法运算的位置。初始时,所有的 split[i][i] 都为 0。
在计算 dp 数组时,我们可以通过记录最小值的方式,来更新 split 数组。具体的更新公式如下:
dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + di-1×dk×dj),其中 i <= k < j
split[i][j] = argmin(dp[i][k] + dp[k+1][j] + di-1×dk×dj),其中 i <= k < j
最后,我们可以使用递归的方式来构建最优括号化方式。具体的做法是,我们可以定义一个函数 printOptimalParenthesis(i, j),来打印从矩阵 Ai 到 Aj 的最优括号化方式。在这个函数中,我们可以通过 split 数组来确定第一个乘法运算的位置,并递归地打印左右两个子问题的最优括号化方式。
这就是动态规划求解矩阵链乘法的基本思路和步骤。希望对你有帮助!