动态规划求解六个矩阵连乘的最佳连乘次数和最少乘法次数
时间: 2023-07-23 09:49:29 浏览: 46
好的,这是一个典型的动态规划问题。假设我们有六个矩阵,它们的维度依次为 $A_1$ ($p_0 \times p_1$)、$A_2$ ($p_1 \times p_2$)、$A_3$ ($p_2 \times p_3$)、$A_4$ ($p_3 \times p_4$)、$A_5$ ($p_4 \times p_5$)和 $A_6$ ($p_5 \times p_6$),则它们的连乘积为:
$$A = A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$
为了方便计算,我们可以定义一个 $n+1$ 个元素的数组 $p$,其中 $p_i$ 表示第 $i$ 个矩阵的列数,也是第 $i+1$ 个矩阵的行数。则 $A$ 的维度为 $p_0 \times p_6$。
我们可以定义 $m_{i,j}$ 表示从第 $i$ 个矩阵乘到第 $j$ 个矩阵的最少乘法次数。则 $m_{1,6}$ 即为所求的答案。
接下来,我们考虑如何计算 $m_{i,j}$。对于任意 $i \leq k < j$,我们可以将 $A_1A_2\cdots A_k$ 和 $A_{k+1}A_{k+2}\cdots A_j$ 分别看作一个整体,它们的乘积即为 $A_{i,j}$。则有:
$$m_{i,j} = \min_{i \leq k < j} \{m_{i,k} + m_{k+1,j} + p_{i-1}p_kp_j\}$$
其中 $p_{i-1}p_kp_j$ 即为计算 $A_{i,j}$ 的乘法次数。这个式子的意思是,我们枚举从第 $i$ 个矩阵到第 $j$ 个矩阵的最后一次乘法发生在哪个位置 $k$,然后将问题划分成两部分:从第 $i$ 个矩阵乘到第 $k$ 个矩阵的最少乘法次数为 $m_{i,k}$,从第 $k+1$ 个矩阵乘到第 $j$ 个矩阵的最少乘法次数为 $m_{k+1,j}$,两部分乘法次数加上计算 $A_{i,j}$ 的乘法次数 $p_{i-1}p_kp_j$ 即为总乘法次数。
我们可以使用一个二维数组 $m$ 来保存所有的 $m_{i,j}$ 值。具体而言,$m_{i,j}$ 的计算需要用到 $m_{i,k}$ 和 $m_{k+1,j}$,因此我们可以采用动态规划的方式,按照矩阵链长度从小到大依次计算所有的 $m_{i,j}$ 值。最终,$m_{1,6}$ 即为所求的答案。
代码实现如下: