用Python语言，利用循环函数， 计算单摆在 0度 到 90度 之间时（等间隔取10个点，用循环语句编程计算），周期分别是多少，并将这些点在“角度-周期”的图中画出来。

在Python中，我们可以使用泰勒级数近似公式来计算单摆的周期，然后通过循环对每个角度（从0到90度，步长为10度）进行计算。单摆的周期（T）可以用下面这个公式估算：

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

其中 \( L \) 是摆长，\( g \) 是重力加速度（在地球表面大约是 9.8 m/s^2）。由于我们通常无法直接测量摆长，我们可以假设一个标准值，比如 1 米，来演示如何编写程序。

以下是一个简单的示例，展示如何使用`numpy`库来做这些计算：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义常量
g = 9.8  # 重力加速度 (m/s^2)
L = 1  # 摆长 (m)
steps = 10  # 分段角度
angles = np.arange(0, 91, 10)  # 角度范围（0到90度，步长10）

# 泰勒级数近似的单摆周期公式
def pendulum_period(angle):
    return 2 * np.pi * np.sqrt(L / g)

periods = pendulum_period(angles)

# 绘制角度-周期图
plt.plot(angles, periods, 'o-')
plt.xlabel('角度 (度)')
plt.ylabel('周期 (秒)')
plt.title('单摆周期 vs 角度')
plt.grid(True)
plt.show()

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利用循环函数， 计算初始条件 在 0度 到 90度 之间时（等间隔取10个点，用循环语句编程计算），单摆周期分别是多少，并将这些点在“角度-周期”的图中画出来。用python写出具体代码

要利用循环函数计算从0度到90度之间的单摆周期，并在“角度-周期”图上表示，可以按照以下步骤编写Python代码。我们将使用牛顿-莱布尼茨公式来近似单摆的周期，它对于小角度摆动有效，公式是 \( T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \)，其中 \( T \) 是周期，\( L \) 是摆长，\( g \) 是重力加速度。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义摆长和重力加速度
g = 9.81  # 地球表面标准重力加速度
L = 1.0   # 单摆的长度，单位通常为米

# 创建角度列表（从0度到90度，等差取值）
angles_degrees = np.linspace(0, 90, num=11, endpoint=False)
angles_radians = angles_degrees * np.pi / 180  # 转换为弧度

# 初始化周期列表
periods = []

# 循环计算每个角度对应的周期
for angle in angles_radians:
    periods.append(2 * np.pi * np.sqrt(L / g))

# 将数据整理成DataFrame便于绘图
data = {'角度': angles_degrees, '周期': periods}

df = pd.DataFrame(data)

# 绘制角度-周期图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df['角度'], df['周期'], marker='o')
plt.xlabel('角度 (°)')
plt.ylabel('周期 (秒)')
plt.title('角度-周期关系')
plt.grid(True)
plt.show()

选则 初始条件摆角在0度到1度之间（取10个点），重新绘制单摆角度与角速度的函数关系，。用python写出具体代码

在Python中，我们可以使用matplotlib库来绘制单摆的角度（theta）与角速度（omega）随时间的关系。这里我们将使用scipy库中的odeint函数求解单摆的动力学方程。首先，我们需要安装必要的库，如果还没有安装，可以运行`pip install numpy scipy matplotlib`。

以下是基于Lagrangian动力学的简单示例代码，假设初始条件是在0到1度之间的随机选择10个点：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
import random

# 单摆的基本常数
g = 9.81  # 重力加速度
m = 1.0   # 摆锤质量
l = 1.0   # 摆长

# 动力学模型，拉格朗日函数
def lagrangian(theta, omega):
    return 0.5 * m * l**2 * omega**2 - m * g * l * (1 - np.cos(theta))

# 摆动方程的导数
def single_pendulum(t, y):
    theta, omega = y
    dtheta_dt = omega
    domega_dt = -(g / l) * np.sin(theta)
    return [dtheta_dt, domega_dt]

# 初始条件范围
initial_angles = [random.uniform(0, 1) for _ in range(10)]
initial_omegas = [0] * len(initial_angles)

# 时间间隔
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)  # 这里的时间足够长，让摆来回摆动多次

# 求解并存储数据
results = []
for i, (theta_i, omega_i) in enumerate(zip(initial_angles, initial_omegas)):
    sol = odeint(single_pendulum, [theta_i, omega_i], t)
    results.append(sol.T)

# 绘制每个摆的状态
fig, axs = plt.subplots(len(results), 2, figsize=(10, 4*len(results)), sharex=True)
axs[0][0].set_title('Angle vs Time')
axs[0][1].set_title('Angular Velocity vs Time')

for ax_angle, ax_vel, (theta_data, vel_data) in zip(axs[:, 0], axs[:, 1], results):
    ax_angle.plot(t, theta_data, label=f"Initial Angle {initial_angles[i]:.2f}")
    ax_angle.legend()
    ax_vel.plot(t, vel_data, label=f"Initial Omega {initial_omegas[i]:.2f}")
    ax_vel.legend()

plt.xlabel("Time")
plt.show()

这段代码会生成多个子图，每张图代表一个初始摆角，分别展示角度随时间的变化和角速度随时间的变化。