扩展欧几里得算法求逆元

欧几里得算法是一种用于计算两个整数的最大公约数的方法。而扩展欧几里得算法则可以在求得最大公约数的同时，找到使得两个整数的线性组合等于最大公约数的系数。

对于求逆元，我们可以利用扩展欧几里得算法来完成。假设我们要求一个整数a在模m下的乘法逆元，即满足 (a * x) % m = 1 的整数x。首先，我们使用扩展欧几里得算法来求解a和m的最大公约数d，以及对应的系数x和y，使得 a * x + m * y = d 成立。

如果d不等于1，则说明a和m不互质，即a在模m下没有乘法逆元。因此，如果d等于1，那么x就是a在模m下的乘法逆元。

需要注意的是，由于模m下的逆元是唯一的，因此我们通常将x调整到[0, m-1]之间，即 x = (x % m + m) % m。

总结一下，扩展欧几里得算法可以用来求解两个整数的最大公约数，并且可以找到使得两个整数的线性组合等于最大公约数的系数。通过判断最大公约数是否为1，我们可以确定一个整数在模m下是否存在乘法逆元。

相关问题

扩展欧几里得算法求逆元算法java

扩展欧几里得算法是一种求解线性同余方程 ax ≡ 1 (mod m) 中 x 的逆元的方法。逆元是指数值 x 使得 ax 与 m 取模之后的结果为 1。

下面是一个用 Java 实现扩展欧几里得算法求逆元的代码示例：

public class InverseElement {
    public static int extendedEuclidean(int a, int b) {
        int[] coeffs = new int[3];  // 存储扩展欧几里得算法求解的系数
        int x = 0, y = 0;
        while (b != 0) {
            coeffs = updateCoeffs(a, b, coeffs);
            a = coeffs[0];
            b = coeffs[1];
            x = coeffs[2];
            y = coeffs[3];
        }
        if (a == 1) {
            return (x % m + m) % m;  // 防止结果为负数
        } else {
            return -1;  // 没有逆元
        }
    }

    private static int[] updateCoeffs(int a, int b, int[] coeffs) {
        if (b == 0) {
            coeffs[0] = a;
            coeffs[1] = b;
            coeffs[2] = 1;
            coeffs[3] = 0;
            return coeffs;
        }
        coeffs = updateCoeffs(b, a % b, coeffs);
        int x1 = coeffs[2];
        int y1 = coeffs[3];
        coeffs[2] = y1;
        coeffs[3] = x1 - (a / b) * y1;
        return coeffs;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int a = 7;
        int m = 11;
        int inverse = extendedEuclidean(a, m);
        System.out.println("逆元: " + inverse);
    }
}

在上述代码中，`extendedEuclidean` 方法实现了扩展欧几里得算法， `updateCoeffs` 方法用于更新系数， `main` 方法用于测试求逆元的结果。在示例中，我们以 `a = 7` 和 `m = 11` 为例来求解逆元。

按照扩展欧几里得算法的步骤，我们递归调用 `updateCoeffs` 方法来更新系数，直到 b 为 0。然后，如果 a 为 1，则返回取模后的 x 值作为逆元；否则，返回 -1 表示没有逆元。

输出结果为：逆元：8，表示在模 11 下，7 的逆元为 8。

扩展欧几里得算法求逆元python

下面是一个用Python实现的扩展欧几里得算法求逆元的示例代码：

def exgcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        gcd, x, y = exgcd(b, a % b)
        return gcd, y, x - (a // b) * y

def mod_inv(a, m):
    gcd, x, y = exgcd(a, m)
    if gcd != 1:
        return None  # 逆元不存在
    else:
        return (x % m + m) % m  # 返回正整数范围内的逆元

其中，`exgcd(a, b)`函数为扩展欧几里得算法的实现，返回值为`(gcd, x, y)`，其中`gcd`为`a`和`b`的最大公约数，`x`和`y`满足`ax + by = gcd`的一组解。`mod_inv(a, m)`函数为求`a`在模`m`意义下的逆元，当逆元不存在时返回`None`。

示例：

print(mod_inv(3, 11))  # 输出 4，因为 3 * 4 ≡ 1 (mod 11)
print(mod_inv(4, 8))   # 输出 None，因为 4 在模 8 意义下没有逆元